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3 Le même problème sur l’espace tout entier
relier au fait que les ondes planes décrivent des particules libres, qui sont donc
des états non liés.
Du point de vue mathématique, la question que nous sommes en train d’examiner est en fait une question difficile de théorie spectrale. Il se trouve que
pour la classe d’opérateurs que nous regardons, la limite à l’infini est en fait la
borne inférieure du spectre essentiel, notre question est donc : le bas du spectre
essentiel est-il ou non une valeur propre de l’opérateur ? à cette nuance près
que nous nous restreignons au cas où la fonction propre est positive, la question étant donc plus précisément : le bas du spectre essentiel est-il ou non la
plus petite valeur propre de l’opérateur ?
Il est important de mentionner qu’il existe toute une classe de résultats du
même type que le Théorème 3.4, et qui relèvent donc du même esprit physique.
A titre d’exemple, citons-en quelques-uns, qui ont trait à des problèmes de
Physique ou de Chimie Quantique. Nous en verrons d’autres dans la suite de
ces notes.
Un résultat très fin, qui implique en fait le Théorème 3.4, est le résultat suivant
dû à B. Simon. Si on suppose que le potentiel W vérifie les deux conditions
suivantes :
lim
λ−→0
λ
3/2 Mesure{x; W + (x) > λ} = 0,
(3.36)
sup
λ
λ
3/2 Mesure{x; W + (x) > λ} < +∞,
(3.37)
alors une solution u ≥ 0 de
−∆u + W u ≥ 0
n’appartient pas à L
2 (IR
3 ). Le lecteur qui a fait l’Exercice 2.12 remarquera
qu’en fait, l’énoncé même de ce résultat suggère qu’on peut faire appel pour
sa preuve à la notion de symétrisée de Schwarz.
Ce résultat, comme d’ailleurs le Théorème 3.4, suggère que le comportement
en puissance qui est le cas limite est le cas d’un comportement à l’infini de W +
en
1
|x| 2 . Il se trouve qu’on connaît exactement le cas limite, c’est un résultat
de R. Benguria et C. Yarur : si W est continu et [W ] + ≤
3
4|x| 2 à l’infini alors
la solution u ≥ 0 de −∆u + W u = 0 n’est pas L
2 , alors que l’on peut trouver
une solution L
2 pour W ≡
C
|x| 2 avec C >
3
4 arbitraire. Nous verrons dans la
suite de ces notes d’autres résultats de non-existence de valeur propre pour
des opérateurs de Schrödinger, et en particulier des résultats qui ne font pas
appel à une hypothèse de signe sur la solution u (voir le Théorème 3.13 ; noter
en effet que tous les résultats ci-dessus traitent de fonctions u ≥ 0). D’une
façon générale, les résultats sans hypothèse de signe (et qui n’utilisent pas
d’hypothèse du type condition du second ordre, contrairement à ce que nous
ferons plus loin) sont rares.
3 Le même problème sur l’espace tout entier
relier au fait que les ondes planes décrivent des particules libres, qui sont donc
des états non liés.
Du point de vue mathématique, la question que nous sommes en train d’examiner est en fait une question difficile de théorie spectrale. Il se trouve que
pour la classe d’opérateurs que nous regardons, la limite à l’infini est en fait la
borne inférieure du spectre essentiel, notre question est donc : le bas du spectre
essentiel est-il ou non une valeur propre de l’opérateur ? à cette nuance près
que nous nous restreignons au cas où la fonction propre est positive, la question étant donc plus précisément : le bas du spectre essentiel est-il ou non la
plus petite valeur propre de l’opérateur ?
Il est important de mentionner qu’il existe toute une classe de résultats du
même type que le Théorème 3.4, et qui relèvent donc du même esprit physique.
A titre d’exemple, citons-en quelques-uns, qui ont trait à des problèmes de
Physique ou de Chimie Quantique. Nous en verrons d’autres dans la suite de
ces notes.
Un résultat très fin, qui implique en fait le Théorème 3.4, est le résultat suivant
dû à B. Simon. Si on suppose que le potentiel W vérifie les deux conditions
suivantes :
lim
λ−→0
λ
3/2 Mesure{x; W + (x) > λ} = 0,
(3.36)
sup
λ
λ
3/2 Mesure{x; W + (x) > λ} < +∞,
(3.37)
alors une solution u ≥ 0 de
−∆u + W u ≥ 0
n’appartient pas à L
2 (IR
3 ). Le lecteur qui a fait l’Exercice 2.12 remarquera
qu’en fait, l’énoncé même de ce résultat suggère qu’on peut faire appel pour
sa preuve à la notion de symétrisée de Schwarz.
Ce résultat, comme d’ailleurs le Théorème 3.4, suggère que le comportement
en puissance qui est le cas limite est le cas d’un comportement à l’infini de W +
en
1
|x| 2 . Il se trouve qu’on connaît exactement le cas limite, c’est un résultat
de R. Benguria et C. Yarur : si W est continu et [W ] + ≤
3
4|x| 2 à l’infini alors
la solution u ≥ 0 de −∆u + W u = 0 n’est pas L
2 , alors que l’on peut trouver
une solution L
2 pour W ≡
C
|x| 2 avec C >
3
4 arbitraire. Nous verrons dans la
suite de ces notes d’autres résultats de non-existence de valeur propre pour
des opérateurs de Schrödinger, et en particulier des résultats qui ne font pas
appel à une hypothèse de signe sur la solution u (voir le Théorème 3.13 ; noter
en effet que tous les résultats ci-dessus traitent de fonctions u ≥ 0). D’une
façon générale, les résultats sans hypothèse de signe (et qui n’utilisent pas
d’hypothèse du type condition du second ordre, contrairement à ce que nous
ferons plus loin) sont rares.