3.2 Compacité du modèle TFW
73
n’est pas trop petit
W
W est assez profond ici
Etat lié d’ é
nergie 0
Fig. 3.1. Un “bon” potentiel pour lequel il existe un état fondamental L
2 .
de Schrödinger . La question que nous allons examiner est la suivante. Supposons que le potentiel W tende vers 0 à l’infini (on pourrait de même considérer une autre limite à l’infini, il suffit de décaler W d’une constante). Quelles
qualités faut-il avoir sur W pour assurer l’existence d’un état lié d’énergie
nulle ?
Raisonnons une minute de façon classique (par opposition à quantique). Pour
pouvoir enfermer une particule et lui assurer un état stable dans lequel elle
restera indéfiniment, il faut une “bonne” boîte. Autrement dit (voir Figure 3.1),
il faut avoir quelque part dans l’espace IR
3 un puits de potentiel suffisamment
profond et abrupt pour qu’il retienne la particule à l’intérieur. Du point de
vue mathématique, ce puits est réalisé par le potentiel W : si on veut un état
lié d’énergie nulle (le zéro ici n’est qu’une affaire de convention), il faut que
W prenne quelque part une valeur vraiment négative et fasse un bon “creux”
autour de cette valeur, au sens où le potentiel va remonter suffisamment audessus de 0 pour emprisonner l’état d’énergie nulle. En d’autres termes, il faut
assurer le fait que l’état n’ait pas intérêt à aller à l’infini (ce qui est en fait
associé à une probabilité faible de passage en dehors du puits de potentiel par
effet tunnel), ou autrement dit que le potentiel soit suffisamment au-dessus de
la valeur propre à l’infini. Ce que dit en substance le Théorème 3.4, c’est : si
le potentiel W est trop petit à l’infini (c’est-à-dire ici si la partie positive de
sa moyenne sphérique est L
3/2 , ce qui est une mesure de la petitesse de W ),
alors il ne peut pas y avoir d’état lié d’énergie nulle. Bien sûr, on n’affirme
pas qu’il n’y a pas du tout de solution non triviale de −∆u + W u = 0.
Donnons un exemple simplissime. Sur IR
3 , l’équation −∆u − u = 0, dont le
potentiel satisfait pourtant les hypothèses du Théorème 3.4, admet la solution
u(x, y, z) = sin(x) qui n’est bien sûr pas L
2 (IR
3 ). Physiquement, cela est à
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n’est pas trop petit
W
W est assez profond ici
Etat lié d’ é
nergie 0
Fig. 3.1. Un “bon” potentiel pour lequel il existe un état fondamental L
2 .
de Schrödinger . La question que nous allons examiner est la suivante. Supposons que le potentiel W tende vers 0 à l’infini (on pourrait de même considérer une autre limite à l’infini, il suffit de décaler W d’une constante). Quelles
qualités faut-il avoir sur W pour assurer l’existence d’un état lié d’énergie
nulle ?
Raisonnons une minute de façon classique (par opposition à quantique). Pour
pouvoir enfermer une particule et lui assurer un état stable dans lequel elle
restera indéfiniment, il faut une “bonne” boîte. Autrement dit (voir Figure 3.1),
il faut avoir quelque part dans l’espace IR
3 un puits de potentiel suffisamment
profond et abrupt pour qu’il retienne la particule à l’intérieur. Du point de
vue mathématique, ce puits est réalisé par le potentiel W : si on veut un état
lié d’énergie nulle (le zéro ici n’est qu’une affaire de convention), il faut que
W prenne quelque part une valeur vraiment négative et fasse un bon “creux”
autour de cette valeur, au sens où le potentiel va remonter suffisamment audessus de 0 pour emprisonner l’état d’énergie nulle. En d’autres termes, il faut
assurer le fait que l’état n’ait pas intérêt à aller à l’infini (ce qui est en fait
associé à une probabilité faible de passage en dehors du puits de potentiel par
effet tunnel), ou autrement dit que le potentiel soit suffisamment au-dessus de
la valeur propre à l’infini. Ce que dit en substance le Théorème 3.4, c’est : si
le potentiel W est trop petit à l’infini (c’est-à-dire ici si la partie positive de
sa moyenne sphérique est L
3/2 , ce qui est une mesure de la petitesse de W ),
alors il ne peut pas y avoir d’état lié d’énergie nulle. Bien sûr, on n’affirme
pas qu’il n’y a pas du tout de solution non triviale de −∆u + W u = 0.
Donnons un exemple simplissime. Sur IR
3 , l’équation −∆u − u = 0, dont le
potentiel satisfait pourtant les hypothèses du Théorème 3.4, admet la solution
u(x, y, z) = sin(x) qui n’est bien sûr pas L
2 (IR
3 ). Physiquement, cela est à