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3 Le même problème sur l’espace tout entier
dont on savait qu’elle convergeait faiblement dans H
1 (IR
3 ), converge en fait
fortement dans cet espace et donc aussi dans tous les L
p , 2 ≤ p ≤ 6.
On vient en définitive de montrer la
Proposition 3.1. Sous l’hypothèse λ ≤ Z, le problème (3.1) (atomique ou
moléculaire) admet un minimum.
Remarque 3.5 Il résulte du raisonnement ci-dessus que pour le minimiseur
u du problème, qui vérifie donc
I R 3
u
2 = λ ≤ Z, on a θ > 0. On pourra détailler ce point en exercice.
Remarque 3.6 A ce stade, l’hypothèse λ ≤ Z apparaît comme suffisante, vue
notre technique de preuve, mais il n’est pas clair qu’elle soit nécessaire. En
fait, à partir notamment du résultat de la Remarque 3.5 on peut montrer que
pour certains λ immédiatement supérieurs à Z, il existe encore un minimiseur,
et aussi montrer que pour λ assez grand, il n’y a plus de minimiseur. Voir à
ce sujet la fin de la Section 3.4.
Remarque 3.7 D’un point de vue physique, il semble naturel qu’une hypothèse du type λ ≤ Z intervienne. On s’y attendait. Maintenant que le problème
est posé sur l’espace tout entier, un nombre Z de protons ne peut pas retenir
à son voisinage un nombre λ arbitrairement grand d’électrons. La situation
est radicalement différente de celle du cas borné (voir la Remarque 2.25).
Revenons maintenant sur la nature du Théorème 3.4.
3.2.2 A propos de Théorie spectrale
Il est utile pour comprendre cette nature de faire un double détour par
la physique et la théorie spectrale des opérateurs (deux domaines qui sont
l’objet de deux annexes spécifiques à la fin de ce cours, où on trouvera donc
des développements sur ce qui n’est que survolé ici). Commençons par indiquer deux points de vocabulaire. Supposons que l’équation d’Euler-Lagrange
d’un problème de minimisation se mette sous la forme
−∆u + W u + θu = 0.
(3.35)
Alors une solution u de cette équation qui appartient à L
2 (IR
3 ) est un état lié
du système, puisque cette fonction décrit un état stationnaire du système.
Mathématiquement, il s’agit d’une fonction propre de l’opérateur −∆ + W
associée à la valeur propre −θ. Un opérateur s’écrivant ainsi est appelé opérateur
3 Le même problème sur l’espace tout entier
dont on savait qu’elle convergeait faiblement dans H
1 (IR
3 ), converge en fait
fortement dans cet espace et donc aussi dans tous les L
p , 2 ≤ p ≤ 6.
On vient en définitive de montrer la
Proposition 3.1. Sous l’hypothèse λ ≤ Z, le problème (3.1) (atomique ou
moléculaire) admet un minimum.
Remarque 3.5 Il résulte du raisonnement ci-dessus que pour le minimiseur
u du problème, qui vérifie donc
I R 3
u
2 = λ ≤ Z, on a θ > 0. On pourra détailler ce point en exercice.
Remarque 3.6 A ce stade, l’hypothèse λ ≤ Z apparaît comme suffisante, vue
notre technique de preuve, mais il n’est pas clair qu’elle soit nécessaire. En
fait, à partir notamment du résultat de la Remarque 3.5 on peut montrer que
pour certains λ immédiatement supérieurs à Z, il existe encore un minimiseur,
et aussi montrer que pour λ assez grand, il n’y a plus de minimiseur. Voir à
ce sujet la fin de la Section 3.4.
Remarque 3.7 D’un point de vue physique, il semble naturel qu’une hypothèse du type λ ≤ Z intervienne. On s’y attendait. Maintenant que le problème
est posé sur l’espace tout entier, un nombre Z de protons ne peut pas retenir
à son voisinage un nombre λ arbitrairement grand d’électrons. La situation
est radicalement différente de celle du cas borné (voir la Remarque 2.25).
Revenons maintenant sur la nature du Théorème 3.4.
3.2.2 A propos de Théorie spectrale
Il est utile pour comprendre cette nature de faire un double détour par
la physique et la théorie spectrale des opérateurs (deux domaines qui sont
l’objet de deux annexes spécifiques à la fin de ce cours, où on trouvera donc
des développements sur ce qui n’est que survolé ici). Commençons par indiquer deux points de vocabulaire. Supposons que l’équation d’Euler-Lagrange
d’un problème de minimisation se mette sous la forme
−∆u + W u + θu = 0.
(3.35)
Alors une solution u de cette équation qui appartient à L
2 (IR
3 ) est un état lié
du système, puisque cette fonction décrit un état stationnaire du système.
Mathématiquement, il s’agit d’une fonction propre de l’opérateur −∆ + W
associée à la valeur propre −θ. Un opérateur s’écrivant ainsi est appelé opérateur