3.2 Compacité du modèle TFW
71
Pour montrer ceci, nous allons mettre en œuvre un raisonnement qui sera
largement réutilisé par la suite. L’idée maîtresse repose sur le Théorème de
Gauss de l’électrostatique (ou son analogue en Théorie de la gravitation, à
savoir le Théorème de Newton) : une distribution de charges à symétrie sphérique remplissant une boule crée en un point extérieur à cette boule un potentiel électrostatique identique à celui qui serait observé si toute la charge était
concentrée au centre de la boule.
Une manière mathématique de voir cela est de résoudre l’équation de Poisson −∆V = f pour une fonction f à symétrie sphérique, avec la condition V (x) −→ 0 à l’infini. On voit facilement, en ramenant cette EDP à
une simple équation différentielle ordinaire sur la demi-droite réelle que l’on
résout à la main, que le potentiel V est donné sur l’espace IR
3 par la formule
V (x) =
I R 3
f (y)
max(|x|, |y|)
dy.
Revenons maintenant à l’assertion (3.33). L’opérateur moyenne sphérique
étant toujours désigné par [·], on a, par linéarité de l’opérateur Laplacien,
[u
2
1
|x| ] = [u
2 ]
1
|x| (en effet, ∆[u
2
1
|x| ] = [∆(u
2
1
|x| )] = −4π[u
2 ] = ∆([u
2 ]
1
|x| )
et les deux fonctions tendent vers 0 à l’infini). Donc, par application du Théorème de Gauss,
[u
2
1
|x|
] =
I R 3
[u
2 (y)]
max(|x|, |y|)
dy.
Il résulte en particulier de cette relation que
0 ≤ [u
2
1
|x|
] ≤
1
|x|
I R 3
[u
2 ] =
1
|x|
I R 3
u
2 .
Nous en déduisons
−Z
1
|x|
+
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
≤
−Z +
I R 3 u
2
|x|
≤ 0,
(3.34)
puisque par hypothèse de notre raisonnement par l’absurde
I R 3
u
2 < λ ≤ Z
(noter que si on avait une molécule au lieu d’un atome, c’est-à-dire un
potentiel
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
avec
K
k=1
z k = Z, l’inégalité (3.34) resterait vraie pour
|x| ≥ max k |¯ x k |, car le potentiel d’attraction des noyaux se traiterait aussi
par le Théorème de Gauss). Il en résulte que (3.33) est trivialement vraie
puisque
−Z
1
|x|
+
u
2 (y)
|x − y|
dy
+
= 0. Ceci termine notre raisonnement :
on applique le Théorème 3.4, on aboutit à une absurdité, donc (3.28) est
fausse et
u
2 = λ. Il faut noter que par le même raisonnement que celui qui
a été fait dans le cas borné au chapitre 2, cela implique que la suite (u n ) n∈I N ,
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Pour montrer ceci, nous allons mettre en œuvre un raisonnement qui sera
largement réutilisé par la suite. L’idée maîtresse repose sur le Théorème de
Gauss de l’électrostatique (ou son analogue en Théorie de la gravitation, à
savoir le Théorème de Newton) : une distribution de charges à symétrie sphérique remplissant une boule crée en un point extérieur à cette boule un potentiel électrostatique identique à celui qui serait observé si toute la charge était
concentrée au centre de la boule.
Une manière mathématique de voir cela est de résoudre l’équation de Poisson −∆V = f pour une fonction f à symétrie sphérique, avec la condition V (x) −→ 0 à l’infini. On voit facilement, en ramenant cette EDP à
une simple équation différentielle ordinaire sur la demi-droite réelle que l’on
résout à la main, que le potentiel V est donné sur l’espace IR
3 par la formule
V (x) =
I R 3
f (y)
max(|x|, |y|)
dy.
Revenons maintenant à l’assertion (3.33). L’opérateur moyenne sphérique
étant toujours désigné par [·], on a, par linéarité de l’opérateur Laplacien,
[u
2
1
|x| ] = [u
2 ]
1
|x| (en effet, ∆[u
2
1
|x| ] = [∆(u
2
1
|x| )] = −4π[u
2 ] = ∆([u
2 ]
1
|x| )
et les deux fonctions tendent vers 0 à l’infini). Donc, par application du Théorème de Gauss,
[u
2
1
|x|
] =
I R 3
[u
2 (y)]
max(|x|, |y|)
dy.
Il résulte en particulier de cette relation que
0 ≤ [u
2
1
|x|
] ≤
1
|x|
I R 3
[u
2 ] =
1
|x|
I R 3
u
2 .
Nous en déduisons
−Z
1
|x|
+
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
≤
−Z +
I R 3 u
2
|x|
≤ 0,
(3.34)
puisque par hypothèse de notre raisonnement par l’absurde
I R 3
u
2 < λ ≤ Z
(noter que si on avait une molécule au lieu d’un atome, c’est-à-dire un
potentiel
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
avec
K
k=1
z k = Z, l’inégalité (3.34) resterait vraie pour
|x| ≥ max k |¯ x k |, car le potentiel d’attraction des noyaux se traiterait aussi
par le Théorème de Gauss). Il en résulte que (3.33) est trivialement vraie
puisque
−Z
1
|x|
+
u
2 (y)
|x − y|
dy
+
= 0. Ceci termine notre raisonnement :
on applique le Théorème 3.4, on aboutit à une absurdité, donc (3.28) est
fausse et
u
2 = λ. Il faut noter que par le même raisonnement que celui qui
a été fait dans le cas borné au chapitre 2, cela implique que la suite (u n ) n∈I N ,