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3 Le même problème sur l’espace tout entier
le sera en revanche à la section 3.5), telle que
I R 3
v
2 = 1. A partir de cette
fonction, nous bâtissons, pour σ > 0, la fonction v σ définie pour tout x ∈ IR
3
par v σ (x) = σ
2 v(σx). Il est facile de voir que
I R 3
v
2
σ = σ et
E(v σ ) = σ
3
I R 3
|∇v|
2
− σ
2
I R 3
Z
|x|
v
2 + σ
13/3
I R 3
|v|
10/3
+
1
2
σ
3
I R 3 ×I R 3
v
2 (x)v
2 (y)
|x − y|
dx dy,
d’où l’on déduit que pour σ assez petit E(v σ ) < 0 et donc I σ < 0. Ceci prouve
donc I λ < 0 pour tout λ > 0.
A ce stade, nous avons donc obtenu u > 0. C’est une réédition facile des
arguments du Chapitre 2 que de montrer que, comme u est solution de l’EDP
(3.27) sur IR
3 , on a u de classe C
∞ en dehors du noyau, et u localement
H
2 autour de l’origine. Nous utilisons alors le résultat suivant qui est dû à
E.H. Lieb et B. Simon.
Théorème 3.4 Soit u > 0 une fonction de classe C
2 solution sur {|x| > R}
de l’inéquation
−∆u + W u ≥ 0,
(3.32)
pour un certain potentiel W vérifiant la propriété suivante : la partie positive
de la moyenne sphérique
1 de W , fonction qui est notée [W ] + , appartient à
L
3/2 ({|x| > R}). Alors u ∈ L
2 ({|x| > R}).
Commençons par utiliser ce théorème pour conclure notre raisonnement, puis
nous ferons de multiples commentaires sur la nature de ce résultat.
Nous allons vérifier que, sous l’hypothèse λ ≤ Z, on peut appliquer le Théorème 3.4 et conclure.
Comme u ∈ L
2 (IR
3 ), on a |u|
4/3
∈ L
3/2 et montrer que [W ] + ∈ L
3/2 ({|x| >
R}) pour le potentiel W défini par (3.30) et pour un certain R que l’on prendra
par exemple égal à l’unité, revient à montrer que
−Z
1
|x|
+
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
+
∈ L
3/2 ({|x| > 1}).
(3.33)
1 Rappelons que si f est une fonction de L
1
loc (IR
3 ), sa moyenne sphérique est la
fonction de L
1
loc (IR
3 ) notée [f ] et définie presque partout par
[f ](x) =
1
4π|x| 2
S 0 (|x|)
f (y) dy,
S0(|x|) désignant la sphère de rayon |x| centrée en 0.
3 Le même problème sur l’espace tout entier
le sera en revanche à la section 3.5), telle que
I R 3
v
2 = 1. A partir de cette
fonction, nous bâtissons, pour σ > 0, la fonction v σ définie pour tout x ∈ IR
3
par v σ (x) = σ
2 v(σx). Il est facile de voir que
I R 3
v
2
σ = σ et
E(v σ ) = σ
3
I R 3
|∇v|
2
− σ
2
I R 3
Z
|x|
v
2 + σ
13/3
I R 3
|v|
10/3
+
1
2
σ
3
I R 3 ×I R 3
v
2 (x)v
2 (y)
|x − y|
dx dy,
d’où l’on déduit que pour σ assez petit E(v σ ) < 0 et donc I σ < 0. Ceci prouve
donc I λ < 0 pour tout λ > 0.
A ce stade, nous avons donc obtenu u > 0. C’est une réédition facile des
arguments du Chapitre 2 que de montrer que, comme u est solution de l’EDP
(3.27) sur IR
3 , on a u de classe C
∞ en dehors du noyau, et u localement
H
2 autour de l’origine. Nous utilisons alors le résultat suivant qui est dû à
E.H. Lieb et B. Simon.
Théorème 3.4 Soit u > 0 une fonction de classe C
2 solution sur {|x| > R}
de l’inéquation
−∆u + W u ≥ 0,
(3.32)
pour un certain potentiel W vérifiant la propriété suivante : la partie positive
de la moyenne sphérique
1 de W , fonction qui est notée [W ] + , appartient à
L
3/2 ({|x| > R}). Alors u ∈ L
2 ({|x| > R}).
Commençons par utiliser ce théorème pour conclure notre raisonnement, puis
nous ferons de multiples commentaires sur la nature de ce résultat.
Nous allons vérifier que, sous l’hypothèse λ ≤ Z, on peut appliquer le Théorème 3.4 et conclure.
Comme u ∈ L
2 (IR
3 ), on a |u|
4/3
∈ L
3/2 et montrer que [W ] + ∈ L
3/2 ({|x| >
R}) pour le potentiel W défini par (3.30) et pour un certain R que l’on prendra
par exemple égal à l’unité, revient à montrer que
−Z
1
|x|
+
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
+
∈ L
3/2 ({|x| > 1}).
(3.33)
1 Rappelons que si f est une fonction de L
1
loc (IR
3 ), sa moyenne sphérique est la
fonction de L
1
loc (IR
3 ) notée [f ] et définie presque partout par
[f ](x) =
1
4π|x| 2
S 0 (|x|)
f (y) dy,
S0(|x|) désignant la sphère de rayon |x| centrée en 0.