84
3 Le même problème sur l’espace tout entier
En posant w(x) = σ
3/2 ϕ(σx), on voit facilement que, pour σ petit, w satisfait
encore (3.22), et il reste à considérer f (x) = v(x) + w(x) avec un coefficient
σ encore plus petit pour terminer le raisonnement. L’astuce provient bien sûr
du fait que le choix de la fonction ϕ ci-dessus permet aux supports de v et w
de s’éloigner mutuellement.
La fonction u est donc minimum du problème à contrainte relâchée. Quitte à
la changer en sa valeur absolue, on peut la supposer positive et faire donc le
même raisonnement que dans le cas standard pour conclure à l’existence d’un
minimum sous l’hypothèse λ ≤ Z. On prendra cependant garde à un point : le
fait que u soit minimum de ˜
I
r
λ entraîne que, pour toute fonction v ∈ H
1
r (IR
3 ),
on a, pour un certain θ réel,
I R 3
∇u · ∇v +
I R 3
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu
v = 0.
(3.54)
Comme (3.54) n’est pas vraie pour toute fonction v ∈ H
1 (IR
3 ), on ne peut
pas en déduire brutalement que
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu = 0
(3.55)
au sens des distributions sur IR
3 . Pour une fonction v ∈ H
1 (IR
3 ) arbitraire,
non nécessairement radiale, on écrit, en utilisant encore la notation [·] pour
désigner la moyenne sphérique,
I R 3
∇u · ∇v +
I R 3
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu
v
. =
I R 3
[∇u · ∇v] +
I R 3
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu
v
puisque l’intégrale d’une fonction est celle de sa moyenne sphérique
=
I R 3
∇u · ∇[v] +
I R 3
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu
[v]
puisque
I R 3
[uv] =
I R 3
u[v] dès que u est radiale
= 0
en vertu de l’équation d’Euler-Lagrange du problème radial.
On peut donc en déduire (3.54) et terminer le raisonnement de la même façon
que dans le cas standard. Bien sûr, à cause du fait que le minimum sur les
fonctions “quelconques” est radial (pour λ ≤ Z), les minima de I λ et I
r
λ sont
égaux (au signe près, quand λ ≤ Z).
On notera en particulier que la preuve faite dans la section 3.2 de I λ < 0 est
valable dans ce cas radial, et donc que I
r
λ < 0 pour λ > 0. On aboutit donc à
une absurdité, et le problème est donc compact, par les mêmes arguments.
3 Le même problème sur l’espace tout entier
En posant w(x) = σ
3/2 ϕ(σx), on voit facilement que, pour σ petit, w satisfait
encore (3.22), et il reste à considérer f (x) = v(x) + w(x) avec un coefficient
σ encore plus petit pour terminer le raisonnement. L’astuce provient bien sûr
du fait que le choix de la fonction ϕ ci-dessus permet aux supports de v et w
de s’éloigner mutuellement.
La fonction u est donc minimum du problème à contrainte relâchée. Quitte à
la changer en sa valeur absolue, on peut la supposer positive et faire donc le
même raisonnement que dans le cas standard pour conclure à l’existence d’un
minimum sous l’hypothèse λ ≤ Z. On prendra cependant garde à un point : le
fait que u soit minimum de ˜
I
r
λ entraîne que, pour toute fonction v ∈ H
1
r (IR
3 ),
on a, pour un certain θ réel,
I R 3
∇u · ∇v +
I R 3
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu
v = 0.
(3.54)
Comme (3.54) n’est pas vraie pour toute fonction v ∈ H
1 (IR
3 ), on ne peut
pas en déduire brutalement que
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu = 0
(3.55)
au sens des distributions sur IR
3 . Pour une fonction v ∈ H
1 (IR
3 ) arbitraire,
non nécessairement radiale, on écrit, en utilisant encore la notation [·] pour
désigner la moyenne sphérique,
I R 3
∇u · ∇v +
I R 3
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu
v
. =
I R 3
[∇u · ∇v] +
I R 3
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu
v
puisque l’intégrale d’une fonction est celle de sa moyenne sphérique
=
I R 3
∇u · ∇[v] +
I R 3
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu
[v]
puisque
I R 3
[uv] =
I R 3
u[v] dès que u est radiale
= 0
en vertu de l’équation d’Euler-Lagrange du problème radial.
On peut donc en déduire (3.54) et terminer le raisonnement de la même façon
que dans le cas standard. Bien sûr, à cause du fait que le minimum sur les
fonctions “quelconques” est radial (pour λ ≤ Z), les minima de I λ et I
r
λ sont
égaux (au signe près, quand λ ≤ Z).
On notera en particulier que la preuve faite dans la section 3.2 de I λ < 0 est
valable dans ce cas radial, et donc que I
r
λ < 0 pour λ > 0. On aboutit donc à
une absurdité, et le problème est donc compact, par les mêmes arguments.