3.6 Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi
85
Pour terminer cette section sur le cas radial, envisageons une légère variante
du problème I
r
λ . On considère le problème
J
r
λ = inf
F (u), u ∈ H
1
r (IR
3 ),
I R 3
|u|
2 = λ
,
(3.56)
pour l’énergie F (u) définie par
F (u) =
I R 3
|∇u|
2
−
I R 3
Z
|x|
u
2 +
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy. (3.57)
On peut alors mener la même étude que dans le cas de I
r
λ , mais pour la dernière
étape du raisonnement, celle qui consiste à montrer que le multiplicateur ne
peut pas s’annuler, on peut utiliser un autre théorème que le Théorème 3.4,
à savoir le suivant, particulier au cas radial et dû à P-L. Lions à partir d’un
résultat d’Agmon. Ce théorème appartient à la catégorie des résultats de non
existence mentionnés à la section 3.2.
Théorème 3.13 Soit ϕ ∈ H
1 (IR
3 ) vérifiant
−∆ϕ −
Z
|x|
ϕ + (ρ ρ
1
|x|
)ϕ + εϕ = 0,
sur IR
3 , pour ε ≤ 0, ρ ∈ L
1 (IR
3 ), ρ ≥ 0, ρ radial.
Alors, si Z >
I R 3
ρ, on a ϕ ≡ 0.
Remarque 3.14 Contrairement au Théorème 3.4, ce résultat ne fait pas
d’hypothèse de signe sur la fonction. Noter aussi qu’il est bien plus puissant
que l’usage qu’on en fait puisque la solution ϕ n’est pas supposée radiale.
A l’aide de ce théorème on peut donc conclure à l’existence d’un minimum
pour J
r
λ , et, mieux, à la convergence à extraction près de toutes les suites
minimisantes (de signe constant ou non).
3.6 Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi
Dans le modèle de TFW étudié jusqu’à maintenant, on a pu voir le rôle crucial
joué par la présence du terme en gradient dans la fonctionnelle d’énergie (3.2).
C’est ce terme qui force les suites minimisantes à être compactes dans les
bons espaces L
p , soit directement parce qu’on dispose d’injections de Sobolev
compactes (cas borné ou radial), soit via les propriétés des opérateurs de
Schrödinger et plus généralement des équations elliptiques, puisque ce terme
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Pour terminer cette section sur le cas radial, envisageons une légère variante
du problème I
r
λ . On considère le problème
J
r
λ = inf
F (u), u ∈ H
1
r (IR
3 ),
I R 3
|u|
2 = λ
,
(3.56)
pour l’énergie F (u) définie par
F (u) =
I R 3
|∇u|
2
−
I R 3
Z
|x|
u
2 +
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy. (3.57)
On peut alors mener la même étude que dans le cas de I
r
λ , mais pour la dernière
étape du raisonnement, celle qui consiste à montrer que le multiplicateur ne
peut pas s’annuler, on peut utiliser un autre théorème que le Théorème 3.4,
à savoir le suivant, particulier au cas radial et dû à P-L. Lions à partir d’un
résultat d’Agmon. Ce théorème appartient à la catégorie des résultats de non
existence mentionnés à la section 3.2.
Théorème 3.13 Soit ϕ ∈ H
1 (IR
3 ) vérifiant
−∆ϕ −
Z
|x|
ϕ + (ρ ρ
1
|x|
)ϕ + εϕ = 0,
sur IR
3 , pour ε ≤ 0, ρ ∈ L
1 (IR
3 ), ρ ≥ 0, ρ radial.
Alors, si Z >
I R 3
ρ, on a ϕ ≡ 0.
Remarque 3.14 Contrairement au Théorème 3.4, ce résultat ne fait pas
d’hypothèse de signe sur la fonction. Noter aussi qu’il est bien plus puissant
que l’usage qu’on en fait puisque la solution ϕ n’est pas supposée radiale.
A l’aide de ce théorème on peut donc conclure à l’existence d’un minimum
pour J
r
λ , et, mieux, à la convergence à extraction près de toutes les suites
minimisantes (de signe constant ou non).
3.6 Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi
Dans le modèle de TFW étudié jusqu’à maintenant, on a pu voir le rôle crucial
joué par la présence du terme en gradient dans la fonctionnelle d’énergie (3.2).
C’est ce terme qui force les suites minimisantes à être compactes dans les
bons espaces L
p , soit directement parce qu’on dispose d’injections de Sobolev
compactes (cas borné ou radial), soit via les propriétés des opérateurs de
Schrödinger et plus généralement des équations elliptiques, puisque ce terme