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3 Le même problème sur l’espace tout entier
se traduit par la présence de l’opérateur Laplacien dans l’équation d’EulerLagrange.
Il ne faudrait cependant pas croire que la compacité de ces problèmes est uniquement liée à la présence de ce terme dans la fonctionnelle d’énergie : on peut
dans certains cas faire sans lui. C’est ce que nous allons voir dans cette section.
Grossièrement dit, même si le Laplacien n’est pas explicitement présent dans
la fonctionnelle d’énergie, il est caché dans le terme de répulsion électronique.
En d’autres termes, la présence quelque part dans la fonctionnelle d’énergie
du potentiel coulombien, dont on rappelle qu’il est égal, à normalisation près,
à la solution élémentaire du Laplacien sur IR
3 , peut suffire à assurer la compacité. Bien sûr, ceci est particulier à la classe de problèmes que nous étudions
et n’a pas de caractère géneral.
Plutôt que de prendre brutalement le modèle obtenu à partir de (3.2) en rayant
le terme en gradient, c’est-à-dire plutôt que de revenir au modèle standard
de Thomas-Fermi, ce qui serait possible mais moins amusant (voir l’étude de
ce modèle dans la littérature indiquée en fin de chapitre), nous allons rayer
le terme en gradient, mais compliquer par ailleurs la fonctionnelle d’énergie.
Cela va nous permettre de présenter quelques variantes de raisonnements déjà
utilisés. En particulier, ce modèle sera notre premier contact avec un cas où
la suite minimisante est en fait constituée d’un couple de deux suites (nous
verrons au Chapitre 5 le cas où une suite minimisante est un n-uplet de suites)
Nous introduisons donc le modèle dit de Thomas-Fermi avec correction de
Fermi-Amaldi :
I N1,N2 = inf
E(ρ 1 , ρ 2 ), ρ i ∈ L
1
∩ L
p , ρ i ≥ 0 p.p.,
I R 3
ρ i = N i
,
(3.58)
E(ρ 1 , ρ 2 ) = c 1
I R 3
ρ
p
1 + c 2
I R 3
ρ
p
2 +
I R 3
V 1 ρ 1 +
I R 3
V 2 ρ 2
+
1
2
D(ρ 1 + ρ 2 , ρ 1 + ρ 2 ) −
1
2
1
N 1
D(ρ 1 , ρ 1 ) +
1
N 2
D(ρ 2 , ρ 2 )
,
(3.59)
avec
c i > 0, i = 1, 2
N i ≥ 1, i = 1, 2
p >
3
2
.
(3.60)
Pour alléger les expressions, on a noté
D(ϕ, ψ) =
I R 3 ×I R 3
ϕ(x)ψ(y)
|x − y|
dx dy.
3 Le même problème sur l’espace tout entier
se traduit par la présence de l’opérateur Laplacien dans l’équation d’EulerLagrange.
Il ne faudrait cependant pas croire que la compacité de ces problèmes est uniquement liée à la présence de ce terme dans la fonctionnelle d’énergie : on peut
dans certains cas faire sans lui. C’est ce que nous allons voir dans cette section.
Grossièrement dit, même si le Laplacien n’est pas explicitement présent dans
la fonctionnelle d’énergie, il est caché dans le terme de répulsion électronique.
En d’autres termes, la présence quelque part dans la fonctionnelle d’énergie
du potentiel coulombien, dont on rappelle qu’il est égal, à normalisation près,
à la solution élémentaire du Laplacien sur IR
3 , peut suffire à assurer la compacité. Bien sûr, ceci est particulier à la classe de problèmes que nous étudions
et n’a pas de caractère géneral.
Plutôt que de prendre brutalement le modèle obtenu à partir de (3.2) en rayant
le terme en gradient, c’est-à-dire plutôt que de revenir au modèle standard
de Thomas-Fermi, ce qui serait possible mais moins amusant (voir l’étude de
ce modèle dans la littérature indiquée en fin de chapitre), nous allons rayer
le terme en gradient, mais compliquer par ailleurs la fonctionnelle d’énergie.
Cela va nous permettre de présenter quelques variantes de raisonnements déjà
utilisés. En particulier, ce modèle sera notre premier contact avec un cas où
la suite minimisante est en fait constituée d’un couple de deux suites (nous
verrons au Chapitre 5 le cas où une suite minimisante est un n-uplet de suites)
Nous introduisons donc le modèle dit de Thomas-Fermi avec correction de
Fermi-Amaldi :
I N1,N2 = inf
E(ρ 1 , ρ 2 ), ρ i ∈ L
1
∩ L
p , ρ i ≥ 0 p.p.,
I R 3
ρ i = N i
,
(3.58)
E(ρ 1 , ρ 2 ) = c 1
I R 3
ρ
p
1 + c 2
I R 3
ρ
p
2 +
I R 3
V 1 ρ 1 +
I R 3
V 2 ρ 2
+
1
2
D(ρ 1 + ρ 2 , ρ 1 + ρ 2 ) −
1
2
1
N 1
D(ρ 1 , ρ 1 ) +
1
N 2
D(ρ 2 , ρ 2 )
,
(3.59)
avec
c i > 0, i = 1, 2
N i ≥ 1, i = 1, 2
p >
3
2
.
(3.60)
Pour alléger les expressions, on a noté
D(ϕ, ψ) =
I R 3 ×I R 3
ϕ(x)ψ(y)
|x − y|
dx dy.