3.6 Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi
87
Les potentiels V i sont pris de la forme
V i = B i −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
,
(3.61)
où les B i sont deux fonctions constantes et
K
k=1
z k = Z.
D’un point de vue physique, disons brièvement que ce modèle qui, il faut
le dire, n’est guère utilisé en pratique, est en particulier un modèle simplifié
pour une molécule placée dans un champ magnétique. La présence du champ
magnétique découple la densité électronique en deux parties : la densité de
spin up (ρ 1 ) et la densité de spin down (ρ 2 ), ce qui explique le fait qu’on
minimise sur deux fonctions. Le dernier terme de la fonctionnelle d’énergie
(3.59) est un terme de correction, dit de Fermi-Amaldi, qui a pour but de
tenir compte d’un peu de corrélation électronique.
Nous allons prouver pour ce modèle le résultat suivant.
Proposition 3.2. Si on suppose
1 + Z ≥ N 1 + N 2
(3.62)
alors, à extraction près, toutes les suites minimisantes du problème (3.58) sont
convergentes dans
L
1
∩ L
p
2 . En particulier, cela a bien sûr pour conséquence
qu’il existe un minimum (ρ 1 , ρ 2 ) au problème (3.58).
Remarque 3.15 En fait, on peut prouver la compacité pour une classe plus
générale de potentiels V i à savoir les potentiels V i = B i − m i
1
|x|
, où B i est
constant et m i est une mesure bornée sur IR
3 , qui vérifient la condition
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1 +
I R 3
dµ 1 ≥ N 1 + N 2 ,
1 +
I R 3
dµ 2 ≥ N 1 + N 2 .
(3.63)
Cette condition redonne bien sûr 1 + Z ≥ N 1 + N 2 quand les mesures m i sont
prises identiques et égales à la somme des masses de Dirac (pondérées par
les charges z k ) définissant les noyaux. Pour simplifier la présentation, nous
avons choisi de mener l’étude dans le cadre simplifié, mais il faut retenir
que la stratégie de preuve, et les arguments essentiels utilisés sont, à quelques
modifications mineures près, les mêmes pour le cas général.
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Les potentiels V i sont pris de la forme
V i = B i −
K
k=1
z k
|x − ¯
x k |
,
(3.61)
où les B i sont deux fonctions constantes et
K
k=1
z k = Z.
D’un point de vue physique, disons brièvement que ce modèle qui, il faut
le dire, n’est guère utilisé en pratique, est en particulier un modèle simplifié
pour une molécule placée dans un champ magnétique. La présence du champ
magnétique découple la densité électronique en deux parties : la densité de
spin up (ρ 1 ) et la densité de spin down (ρ 2 ), ce qui explique le fait qu’on
minimise sur deux fonctions. Le dernier terme de la fonctionnelle d’énergie
(3.59) est un terme de correction, dit de Fermi-Amaldi, qui a pour but de
tenir compte d’un peu de corrélation électronique.
Nous allons prouver pour ce modèle le résultat suivant.
Proposition 3.2. Si on suppose
1 + Z ≥ N 1 + N 2
(3.62)
alors, à extraction près, toutes les suites minimisantes du problème (3.58) sont
convergentes dans
L
1
∩ L
p
2 . En particulier, cela a bien sûr pour conséquence
qu’il existe un minimum (ρ 1 , ρ 2 ) au problème (3.58).
Remarque 3.15 En fait, on peut prouver la compacité pour une classe plus
générale de potentiels V i à savoir les potentiels V i = B i − m i
1
|x|
, où B i est
constant et m i est une mesure bornée sur IR
3 , qui vérifient la condition
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1 +
I R 3
dµ 1 ≥ N 1 + N 2 ,
1 +
I R 3
dµ 2 ≥ N 1 + N 2 .
(3.63)
Cette condition redonne bien sûr 1 + Z ≥ N 1 + N 2 quand les mesures m i sont
prises identiques et égales à la somme des masses de Dirac (pondérées par
les charges z k ) définissant les noyaux. Pour simplifier la présentation, nous
avons choisi de mener l’étude dans le cadre simplifié, mais il faut retenir
que la stratégie de preuve, et les arguments essentiels utilisés sont, à quelques
modifications mineures près, les mêmes pour le cas général.