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3 Le même problème sur l’espace tout entier
Bien sûr, on commence comme toujours par vérifier que tous les termes de la
fonctionnelle d’énergie ont bien un sens sur l’espace fonctionnel considéré, et
ceci se montre par les mêmes arguments que ceux utilisés plus haut.
La preuve de la compacité du problème commence par cette observation
basique : on peut toujours se ramener au cas où B 1 = B 2 ≡ 0. En effet,
on a
I N1,N2 = I
N1,N2 + B 1 N 1 + B 2 N 2 ,
(3.64)
où
I
N1,N2 = inf
˜
E(ρ 1 , ρ 2 ), ρ i ∈ L
1
∩ L
p , ρ i ≥ 0 p.p.,
I R 3
ρ i = N i
,
(3.65)
la fonctionnelle d’énergie ˜
E(ρ 1 , ρ 2 ) étant la même que (3.59) à ceci près qu’on
a remplacé V i par ˜
V i = V i − B i , i = 1, 2. Les suites minimisantes des deux
problèmes (3.58) et (3.65) sont donc les mêmes, et un minimum de l’un est
minimum de l’autre. Désormais, on suppose donc B 1 = B 2 ≡ 0.
Comme dans le modèle de TFW, il est possible de prouver ici que le problème
est le même que le problème à contrainte relâchée, à savoir
˜
I N1,N2 = inf
E(ρ 1 , ρ 2 ), ρ i ∈ L
1
∩ L
p , ρ i ≥ 0 p.p.,
I R 3
ρ i ≤ N i
.
(3.66)
La preuve étant du même calibre que celle déjà faite, nous la laissons au
lecteur et passons rapidement sur ce point.
Le fait que les suites minimisantes soient bornées dans L
1
∩ L
p est une conséquence de la simple observation suivante :
D(ρ 1 + ρ 2 , ρ 1 + ρ 2 ) − [
1
N 1
D(ρ 1 , ρ 1 ) +
1
N 2
D(ρ 2 , ρ 2 )] = (1 −
1
N 1
)D(ρ 1 , ρ 1 )
+ (1 −
1
N 2
)D(ρ 2 , ρ 2 )
+ 2D(ρ 1 , ρ 2 ),
où les trois termes du second membre sont positifs ou nuls. On a donc
E(ρ 1,n , ρ 2,n ) ≥ c 1 ρ 1
p
L p − −V 1,q L q ρ 1 L p − −V 1,∞ L ∞ ρ 1 L 1
+ c 2 ρ 2
p
L p − −V 2,q L q ρ 2 L p − −V 2,∞ L ∞ ρ 2 L 1 ,
où l’on a simplement décomposé les potentiels V i en deux parties : l’une à
l’infini qui est bornée, et l’autre à distance finie qui est L
q pour q l’exposant
conjugué de p.
On suppose donc désormais que la suite minimisante ((ρ 1,n , ρ 2,n )) n∈I N est telle
que (ρ i,n ) n∈I N converge faiblement vers ρ i dans L
r pour tout 1 < r ≤ p. On
prêtera bien attention au fait que l’exposant r = 1 est exclus ; on rappelle
3 Le même problème sur l’espace tout entier
Bien sûr, on commence comme toujours par vérifier que tous les termes de la
fonctionnelle d’énergie ont bien un sens sur l’espace fonctionnel considéré, et
ceci se montre par les mêmes arguments que ceux utilisés plus haut.
La preuve de la compacité du problème commence par cette observation
basique : on peut toujours se ramener au cas où B 1 = B 2 ≡ 0. En effet,
on a
I N1,N2 = I
N1,N2 + B 1 N 1 + B 2 N 2 ,
(3.64)
où
I
N1,N2 = inf
˜
E(ρ 1 , ρ 2 ), ρ i ∈ L
1
∩ L
p , ρ i ≥ 0 p.p.,
I R 3
ρ i = N i
,
(3.65)
la fonctionnelle d’énergie ˜
E(ρ 1 , ρ 2 ) étant la même que (3.59) à ceci près qu’on
a remplacé V i par ˜
V i = V i − B i , i = 1, 2. Les suites minimisantes des deux
problèmes (3.58) et (3.65) sont donc les mêmes, et un minimum de l’un est
minimum de l’autre. Désormais, on suppose donc B 1 = B 2 ≡ 0.
Comme dans le modèle de TFW, il est possible de prouver ici que le problème
est le même que le problème à contrainte relâchée, à savoir
˜
I N1,N2 = inf
E(ρ 1 , ρ 2 ), ρ i ∈ L
1
∩ L
p , ρ i ≥ 0 p.p.,
I R 3
ρ i ≤ N i
.
(3.66)
La preuve étant du même calibre que celle déjà faite, nous la laissons au
lecteur et passons rapidement sur ce point.
Le fait que les suites minimisantes soient bornées dans L
1
∩ L
p est une conséquence de la simple observation suivante :
D(ρ 1 + ρ 2 , ρ 1 + ρ 2 ) − [
1
N 1
D(ρ 1 , ρ 1 ) +
1
N 2
D(ρ 2 , ρ 2 )] = (1 −
1
N 1
)D(ρ 1 , ρ 1 )
+ (1 −
1
N 2
)D(ρ 2 , ρ 2 )
+ 2D(ρ 1 , ρ 2 ),
où les trois termes du second membre sont positifs ou nuls. On a donc
E(ρ 1,n , ρ 2,n ) ≥ c 1 ρ 1
p
L p − −V 1,q L q ρ 1 L p − −V 1,∞ L ∞ ρ 1 L 1
+ c 2 ρ 2
p
L p − −V 2,q L q ρ 2 L p − −V 2,∞ L ∞ ρ 2 L 1 ,
où l’on a simplement décomposé les potentiels V i en deux parties : l’une à
l’infini qui est bornée, et l’autre à distance finie qui est L
q pour q l’exposant
conjugué de p.
On suppose donc désormais que la suite minimisante ((ρ 1,n , ρ 2,n )) n∈I N est telle
que (ρ i,n ) n∈I N converge faiblement vers ρ i dans L
r pour tout 1 < r ≤ p. On
prêtera bien attention au fait que l’exposant r = 1 est exclus ; on rappelle