3.6 Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi
89
en effet qu’une suite bornée dans L
1 n’est pas nécessairement convergente à
extraction près pour la topologie faible de L
1 .
Remarque 3.16 La topologie faible de L
1 a été soigneusement évitée au Chapitre 2. Bien sûr, la Définition 2.1 s’applique, au sens où une suite de fonctions (u n ) n∈I N de L
1 converge faiblement vers u si pour toute fonction v ∈ L
∞ ,
I R 3
u n v −→
I R 3
uv. Mais à part cette définition, peu de choses subsistent par
rapport à la situation dans L
p pour 1 < p < ∞, et ce essentiellement parce que
L
1 n’est pas un Banach réflexif : on a (L
1 )
= L
∞ et (L
∞ )
contient strictement L
1 . Par exemple, pour avoir une suite faiblement convergente, une borne
sur la norme ne suffit pas, et il faut un critère plus exigeant, d’uniforme intégrabilité, contenu dans le Théorème dit de Dunford-Pettis. La situation en
termes de convergence faible est donc radicalement différente. On verra aussi
que la difficulté réapparaît en termes de convergence forte à la Remarque 3.19
ci-dessous.
Comme ρ i,n ≥ 0, on a donc, pour toute fonction f ≥ 0 dans C
∞
0 (IR
3 ),
I R 3
fρ i,n ≥ 0, donc par convergence faible dans L
p ,
I R 3
fρ i ≥ 0, ce qui montre
ρ i ≥ 0.
De plus,
I R 3
ρ i ≤ N i .
(3.67)
En effet, pour R > 0, la fonction caractéristique 1 BR appartient à L
p
p−1 , et
donc
BR
ρ i = lim
n→∞
BR
ρ i,n ≤ N i .
Vérifions maintenant que
E(ρ 1 , ρ 2 ) = ˜
I N1,N2 = I N1,N2 .
(3.68)
Il est clair que comme on sait déjà (3.67), il suffit de montrer que
E(ρ 1 , ρ 2 ) ≤ lim inf E(ρ 1,n , ρ 2,n ).
(3.69)
Il est désormais standard que l’on a
I R 3
ρ
p
i ≤ lim inf
n→+∞
I R 3
ρ
p
i,n ,
(3.70)
et
I R 3
V i ρ i = lim
n→+∞
I R 3
V i ρ i,n .
(3.71)
89
en effet qu’une suite bornée dans L
1 n’est pas nécessairement convergente à
extraction près pour la topologie faible de L
1 .
Remarque 3.16 La topologie faible de L
1 a été soigneusement évitée au Chapitre 2. Bien sûr, la Définition 2.1 s’applique, au sens où une suite de fonctions (u n ) n∈I N de L
1 converge faiblement vers u si pour toute fonction v ∈ L
∞ ,
I R 3
u n v −→
I R 3
uv. Mais à part cette définition, peu de choses subsistent par
rapport à la situation dans L
p pour 1 < p < ∞, et ce essentiellement parce que
L
1 n’est pas un Banach réflexif : on a (L
1 )
= L
∞ et (L
∞ )
contient strictement L
1 . Par exemple, pour avoir une suite faiblement convergente, une borne
sur la norme ne suffit pas, et il faut un critère plus exigeant, d’uniforme intégrabilité, contenu dans le Théorème dit de Dunford-Pettis. La situation en
termes de convergence faible est donc radicalement différente. On verra aussi
que la difficulté réapparaît en termes de convergence forte à la Remarque 3.19
ci-dessous.
Comme ρ i,n ≥ 0, on a donc, pour toute fonction f ≥ 0 dans C
∞
0 (IR
3 ),
I R 3
fρ i,n ≥ 0, donc par convergence faible dans L
p ,
I R 3
fρ i ≥ 0, ce qui montre
ρ i ≥ 0.
De plus,
I R 3
ρ i ≤ N i .
(3.67)
En effet, pour R > 0, la fonction caractéristique 1 BR appartient à L
p
p−1 , et
donc
BR
ρ i = lim
n→∞
BR
ρ i,n ≤ N i .
Vérifions maintenant que
E(ρ 1 , ρ 2 ) = ˜
I N1,N2 = I N1,N2 .
(3.68)
Il est clair que comme on sait déjà (3.67), il suffit de montrer que
E(ρ 1 , ρ 2 ) ≤ lim inf E(ρ 1,n , ρ 2,n ).
(3.69)
Il est désormais standard que l’on a
I R 3
ρ
p
i ≤ lim inf
n→+∞
I R 3
ρ
p
i,n ,
(3.70)
et
I R 3
V i ρ i = lim
n→+∞
I R 3
V i ρ i,n .
(3.71)