90
3 Le même problème sur l’espace tout entier
De plus,
D(ρ i , ρ i ) ≤ lim inf
n→+∞
D(ρ i,n , ρ i,n ),
(3.72)
car on a convergence faible dans L
6/5−ε
∩L
6/5+ε et que la fonction ρ → D(ρ, ρ)
est convexe et fortement continue sur cet espace (voir à ce sujet les Exercices
3.3 et 3.4). Le seul terme non standard est D(ρ 1 , ρ 2 ) (bien comprendre qu’il
n’est pas de même nature que les autres : ce n’est pas une norme, ou une
semi-norme). Nous allons en fait prouver que
D(ρ 1 , ρ 2 ) ≤ lim inf
n→+∞
D(ρ 1,n , ρ 2,n ),
(3.73)
et la preuve de cette assertion est assez instructive.
Remarquons d’abord que, à cause de l’inégalité de Young, la suite ρ 2,n
1
|x|
est bornée dans W
1,r pour tout 3 < r <
3p
3 − p
. Donc, par le Théorème de
Rellich-Kondrachov, on peut toujours supposer, quitte à extraire, que cette
suite converge fortement dans L
r
loc pour un certain r tel que
1
r
+
1
s
= 1 et
1 ≤ s ≤ p (à bon droit puisque p >
3
2 ). Fixons maintenant R > 0. Comme
ρ 2,n
1
|x|
n∈I N
converge fortement dans L
r (B R ) et (ρ 1,n ) n∈I N converge faiblement dans L
s (B R ), on a :
BR
ρ 1 (ρ 2
1
|x|
) = lim
n→+∞
BR
ρ 1,n (ρ 2,n
1
|x|
).
(3.74)
Donc, pour tout R,
BR
ρ 1 (ρ 2
1
|x|
) ≤ lim inf
n→+∞
D(ρ 1,n , ρ 2,n ),
(3.75)
d’où l’on déduit (3.73) en faisant tendre R vers l’infini.
Remarque 3.17 Il est important de saisir ce qui a fait fonctionner les
choses. D’abord, on a utilisé le fait que l’opérateur de convolution est régularisant. On a ainsi obtenu une convergence forte locale (on ne peut pas
espérer mieux à ce stade du raisonnement) de ρ 2,n
1
|x| (une autre façon de
dire cela est de dire que cette suite a ses dérivées bornées car son Laplacien, à
savoir ρ 2,n est borné). Puis, une deuxième étape a consisté à montrer que la
convergence locale suffisait, et là, ce qui nous a sauvé, c’est le fait qu’on gère
des quantités positives ou nulles (cf. le passage de (3.74) à (3.75)), comme ce
qui se passe pour le Lemme de Fatou.
Nous prétendons maintenant qu’il suffit pour conclure de montrer que
I R 3
ρ i = N i , i = 1, 2.
(3.76)
3 Le même problème sur l’espace tout entier
De plus,
D(ρ i , ρ i ) ≤ lim inf
n→+∞
D(ρ i,n , ρ i,n ),
(3.72)
car on a convergence faible dans L
6/5−ε
∩L
6/5+ε et que la fonction ρ → D(ρ, ρ)
est convexe et fortement continue sur cet espace (voir à ce sujet les Exercices
3.3 et 3.4). Le seul terme non standard est D(ρ 1 , ρ 2 ) (bien comprendre qu’il
n’est pas de même nature que les autres : ce n’est pas une norme, ou une
semi-norme). Nous allons en fait prouver que
D(ρ 1 , ρ 2 ) ≤ lim inf
n→+∞
D(ρ 1,n , ρ 2,n ),
(3.73)
et la preuve de cette assertion est assez instructive.
Remarquons d’abord que, à cause de l’inégalité de Young, la suite ρ 2,n
1
|x|
est bornée dans W
1,r pour tout 3 < r <
3p
3 − p
. Donc, par le Théorème de
Rellich-Kondrachov, on peut toujours supposer, quitte à extraire, que cette
suite converge fortement dans L
r
loc pour un certain r tel que
1
r
+
1
s
= 1 et
1 ≤ s ≤ p (à bon droit puisque p >
3
2 ). Fixons maintenant R > 0. Comme
ρ 2,n
1
|x|
n∈I N
converge fortement dans L
r (B R ) et (ρ 1,n ) n∈I N converge faiblement dans L
s (B R ), on a :
BR
ρ 1 (ρ 2
1
|x|
) = lim
n→+∞
BR
ρ 1,n (ρ 2,n
1
|x|
).
(3.74)
Donc, pour tout R,
BR
ρ 1 (ρ 2
1
|x|
) ≤ lim inf
n→+∞
D(ρ 1,n , ρ 2,n ),
(3.75)
d’où l’on déduit (3.73) en faisant tendre R vers l’infini.
Remarque 3.17 Il est important de saisir ce qui a fait fonctionner les
choses. D’abord, on a utilisé le fait que l’opérateur de convolution est régularisant. On a ainsi obtenu une convergence forte locale (on ne peut pas
espérer mieux à ce stade du raisonnement) de ρ 2,n
1
|x| (une autre façon de
dire cela est de dire que cette suite a ses dérivées bornées car son Laplacien, à
savoir ρ 2,n est borné). Puis, une deuxième étape a consisté à montrer que la
convergence locale suffisait, et là, ce qui nous a sauvé, c’est le fait qu’on gère
des quantités positives ou nulles (cf. le passage de (3.74) à (3.75)), comme ce
qui se passe pour le Lemme de Fatou.
Nous prétendons maintenant qu’il suffit pour conclure de montrer que
I R 3
ρ i = N i , i = 1, 2.
(3.76)