3.6 Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi
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Supposons en effet que (3.76) est vérifiée, et terminons le raisonnement.
Il est clair que compte tenu de (3.68) et (3.76), il existe un minimum à notre
problème, mais nous avons affirmé que les suites minimisantes étaient compactes (à extraction près) dans L
1
∩ L
p . Il s’agit de le vérifier. L’essentiel est
de montrer l’estimation uniforme des restes suivante : pour tout ε > 0, on
peut choisir R assez grand pour avoir
∀n ∈ IN,
|x|>R
ρ 1,n ≤ ε.
(3.77)
Si (3.77) est fausse, il existe un paramètre ε 0 > 0, et une suite extraite de
(ρ 1,n ) n∈I N , que l’on note (ρ 1,α(n) ) n∈I N , telle que
|x|>n
ρ 1,α(n) ≥ ε 0 ,
ce qui est aussi
|x|≤n
ρ 1,α(n) ≤ N 1 − ε 0 .
Soit n 0 fixé. On a donc pour tous les n ≥ n 0 ,
|x|≤n0
ρ 1,α(n) ≤
|x|≤n
ρ 1,α(n) ≤ N 1 − ε 0 ,
donc, par convergence faible de la suite (ρ 1,α(n) ) n∈I N vers ρ 1 dans L
p , on
obtient
|x|≤n0
ρ 1 ≤ N 1 − ε 0 ,
et donc, en laissant n 0 tendre vers l’infini,
I R 3
ρ 1 ≤ N 1 − ε 0 < N 1 ce qui
contredit (3.76). L’analogue de (3.77) pour (ρ 2,n ) n∈I N est bien sûr aussi vraie.
A l’aide de (3.77), on va déduire la compacité.
Remarque 3.18 On avait déjà mentionné plus haut (voir la Remarque 3.12)
que la compacité de ce genre de problèmes est acquise dès qu’on sait obtenir
une estimation uniforme des queues des intégrales : tout se passe alors comme
si on était sur un borné.
De la convergence
E(ρ 1 , ρ 2 ) = lim
n→+∞
E(ρ 1,n , ρ 2,n ),
on déduit que
I R 3
ρ
p
i = lim
n→+∞
I R 3
ρ
p
i,n .
Il en résulte que, quitte à extraire, la suite (ρ i,n ) n∈I N converge fortement vers
ρ i dans L
p . Montrons qu’il en est de même dans L
1 (ce qui entraînera alors
par interpolation que ce résultat est vrai pour tous les r entre 1 et p).
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Supposons en effet que (3.76) est vérifiée, et terminons le raisonnement.
Il est clair que compte tenu de (3.68) et (3.76), il existe un minimum à notre
problème, mais nous avons affirmé que les suites minimisantes étaient compactes (à extraction près) dans L
1
∩ L
p . Il s’agit de le vérifier. L’essentiel est
de montrer l’estimation uniforme des restes suivante : pour tout ε > 0, on
peut choisir R assez grand pour avoir
∀n ∈ IN,
|x|>R
ρ 1,n ≤ ε.
(3.77)
Si (3.77) est fausse, il existe un paramètre ε 0 > 0, et une suite extraite de
(ρ 1,n ) n∈I N , que l’on note (ρ 1,α(n) ) n∈I N , telle que
|x|>n
ρ 1,α(n) ≥ ε 0 ,
ce qui est aussi
|x|≤n
ρ 1,α(n) ≤ N 1 − ε 0 .
Soit n 0 fixé. On a donc pour tous les n ≥ n 0 ,
|x|≤n0
ρ 1,α(n) ≤
|x|≤n
ρ 1,α(n) ≤ N 1 − ε 0 ,
donc, par convergence faible de la suite (ρ 1,α(n) ) n∈I N vers ρ 1 dans L
p , on
obtient
|x|≤n0
ρ 1 ≤ N 1 − ε 0 ,
et donc, en laissant n 0 tendre vers l’infini,
I R 3
ρ 1 ≤ N 1 − ε 0 < N 1 ce qui
contredit (3.76). L’analogue de (3.77) pour (ρ 2,n ) n∈I N est bien sûr aussi vraie.
A l’aide de (3.77), on va déduire la compacité.
Remarque 3.18 On avait déjà mentionné plus haut (voir la Remarque 3.12)
que la compacité de ce genre de problèmes est acquise dès qu’on sait obtenir
une estimation uniforme des queues des intégrales : tout se passe alors comme
si on était sur un borné.
De la convergence
E(ρ 1 , ρ 2 ) = lim
n→+∞
E(ρ 1,n , ρ 2,n ),
on déduit que
I R 3
ρ
p
i = lim
n→+∞
I R 3
ρ
p
i,n .
Il en résulte que, quitte à extraire, la suite (ρ i,n ) n∈I N converge fortement vers
ρ i dans L
p . Montrons qu’il en est de même dans L
1 (ce qui entraînera alors
par interpolation que ce résultat est vrai pour tous les r entre 1 et p).