3.2 Compacité du modèle TFW
67
I R 3
|∇w|
2 +
I R 3
|w|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
w
2 (x)w
2 (y)
|x − y|
dx dy ≤ ε.
(3.22)
On construit une telle fonction w par un procédé qui sera omniprésent dans la
suite, le procédé de changement d’échelle, en anglais scaling. Fixons en effet
une fonction ϕ ∈ C
∞
0 (IR
3 ) telle que
I R 3
ϕ
2 = λ − α. Prenons un coefficient
σ > 0 et posons w(x) = σ
3/2 ϕ(σx). On note que cette construction est choisie
en particulier pour assurer
I R 3
w
2 =
I R 3
ϕ
2 . On peut vérifier que
I R 3
|∇w|
2 +
I R 3
|w|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
w
2 (x)w
2 (y)
|x − y|
dx dy
= σ
2
I R 3
|∇ϕ|
2 + σ
2
I R 3
|ϕ|
10/3 +
1
2
σ
I R 3 ×I R 3
ϕ
2 (x)ϕ
2 (y)
|x − y|
dx dy,
d’où l’on déduit facilement que pour σ assez petit, w ainsi construit vérifie
(3.22). Construisons maintenant la fonction suivante : on désigne par e 1 un
vecteur unitaire de IR
3 , et on pose, pour t > 0, f (x) = v(x) + w(x + te 1 ). Pour
t assez grand, les supports de v et w(· + te 1 ) sont disjoints, puisqu’on pousse
le support de w loin de l’origine, et on a donc
I R 3
f
2 = α + λ − α = λ, d’où
E(f ) ≥ I λ . En évaluant les différents termes de E(f ), on peut facilement voir
que, en choisissant t assez grand, on peut assurer (on prendra garde à bien
contrôler le terme “triangle” dans l’interaction électronique entre la fonction
v et la fonction w(· + te 1 ))
E(f ) ≤ E(v) +
I R 3
|∇w|
2 +
I R 3
|w|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
w
2 (x)w
2 (y)
|x − y|
dx dy + ε
≤ (I α + ε) + ε.
On en déduit I λ ≤ I α +2ε, pour tout ε > 0, et donc on obtient (3.20). L’égalité
(3.19) est une conséquence directe, et u est donc un minimum de (3.18). Avant
d’en tirer profit, il est utile de regarder avec un autre point de vue la preuve
que l’on vient de faire.
3.2 Compacité du modèle TFW
Au stade où nous en sommes, nous avons établi qu’une suite minimisante
(u n ) n∈I N de (3.1) convergeait à extraction près vers un minimum u du problème à contrainte relâchée (3.18). Une conséquence de l’égalité ˜
I λ = I λ est
que l’on a bien
E(u) = I λ = lim
n→+∞
E(u n ),
(3.23)
67
I R 3
|∇w|
2 +
I R 3
|w|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
w
2 (x)w
2 (y)
|x − y|
dx dy ≤ ε.
(3.22)
On construit une telle fonction w par un procédé qui sera omniprésent dans la
suite, le procédé de changement d’échelle, en anglais scaling. Fixons en effet
une fonction ϕ ∈ C
∞
0 (IR
3 ) telle que
I R 3
ϕ
2 = λ − α. Prenons un coefficient
σ > 0 et posons w(x) = σ
3/2 ϕ(σx). On note que cette construction est choisie
en particulier pour assurer
I R 3
w
2 =
I R 3
ϕ
2 . On peut vérifier que
I R 3
|∇w|
2 +
I R 3
|w|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
w
2 (x)w
2 (y)
|x − y|
dx dy
= σ
2
I R 3
|∇ϕ|
2 + σ
2
I R 3
|ϕ|
10/3 +
1
2
σ
I R 3 ×I R 3
ϕ
2 (x)ϕ
2 (y)
|x − y|
dx dy,
d’où l’on déduit facilement que pour σ assez petit, w ainsi construit vérifie
(3.22). Construisons maintenant la fonction suivante : on désigne par e 1 un
vecteur unitaire de IR
3 , et on pose, pour t > 0, f (x) = v(x) + w(x + te 1 ). Pour
t assez grand, les supports de v et w(· + te 1 ) sont disjoints, puisqu’on pousse
le support de w loin de l’origine, et on a donc
I R 3
f
2 = α + λ − α = λ, d’où
E(f ) ≥ I λ . En évaluant les différents termes de E(f ), on peut facilement voir
que, en choisissant t assez grand, on peut assurer (on prendra garde à bien
contrôler le terme “triangle” dans l’interaction électronique entre la fonction
v et la fonction w(· + te 1 ))
E(f ) ≤ E(v) +
I R 3
|∇w|
2 +
I R 3
|w|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
w
2 (x)w
2 (y)
|x − y|
dx dy + ε
≤ (I α + ε) + ε.
On en déduit I λ ≤ I α +2ε, pour tout ε > 0, et donc on obtient (3.20). L’égalité
(3.19) est une conséquence directe, et u est donc un minimum de (3.18). Avant
d’en tirer profit, il est utile de regarder avec un autre point de vue la preuve
que l’on vient de faire.
3.2 Compacité du modèle TFW
Au stade où nous en sommes, nous avons établi qu’une suite minimisante
(u n ) n∈I N de (3.1) convergeait à extraction près vers un minimum u du problème à contrainte relâchée (3.18). Une conséquence de l’égalité ˜
I λ = I λ est
que l’on a bien
E(u) = I λ = lim
n→+∞
E(u n ),
(3.23)