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3 Le même problème sur l’espace tout entier
mais, pour prouver que u est un minimum de (3.1), il nous faut encore prouver
que la contrainte est saturée, à savoir que l’on n’a pas seulement
I R 3
u
2
≤ λ,
mais
I R 3
u
2 = λ.
(3.24)
3.2.1 Etude de l’équation d’Euler-Lagrange
Pour ce faire, nous allons procéder comme annoncé : nous allons écrire l’équation d’Euler-Lagrange vérifiée par u, minimum du problème de minimisation
(3.18). Il s’agit d’abord de remarquer que le problème (3.18) n’est pas exactement couvert par le Théorème 2.27, puisque la contrainte est une inégalité,
et non pas une égalité du type J(u) = 0. Nous introduisons donc l’extension
suivante du Théorème 2.27 :
Théorème 3.2 Soit V un espace de Banach, et E et J deux fonctionnelles
de V dans IR, différentiables (au sens de Fréchet). On suppose que u ∈ V
vérifie
E(u) = inf {E(v), v ∈ V, J(v) ≤ 0} ,
J(u) ≤ 0
(3.25)
Alors, si J
(u) ≡ 0 dans V
, il existe un réel θ tel que l’on ait l’égalité dans V
E
(u) + θJ
(u) = 0.
(3.26)
De plus, le multiplicateur de Lagrange θ est positif ou nul, et il est nul si
J(u) < 0.
Remarque 3.3 De deux choses l’une :
– soit J(u) = 0 et alors, u est aussi le minimum du problème
inf {E(v), v ∈ V, J(v) = 0} ,
ce qui entraîne par application du Théorème 2.27 qu’il vérifie (3.26) ; la
propriété θ ≥ 0 peut se montrer en développant E(u + tv) au voisinage
de u ;
– soit J(u) < 0, et alors on peut facilement voir que la fonctionnelle E
atteint un minimum local en u (pour v − u V petit, on a J(v) ≤ 0 et
donc E(v) ≥ E(u)) ; il en résulte que E
(u) = 0 par un argument de
calcul différentiel standard ; on a donc bien (3.26) avec θ = 0.
En appliquant ce théorème, on peut affirmer que u vérifie
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu = 0,
(3.27)
pour un certain réel θ ≥ 0.
3 Le même problème sur l’espace tout entier
mais, pour prouver que u est un minimum de (3.1), il nous faut encore prouver
que la contrainte est saturée, à savoir que l’on n’a pas seulement
I R 3
u
2
≤ λ,
mais
I R 3
u
2 = λ.
(3.24)
3.2.1 Etude de l’équation d’Euler-Lagrange
Pour ce faire, nous allons procéder comme annoncé : nous allons écrire l’équation d’Euler-Lagrange vérifiée par u, minimum du problème de minimisation
(3.18). Il s’agit d’abord de remarquer que le problème (3.18) n’est pas exactement couvert par le Théorème 2.27, puisque la contrainte est une inégalité,
et non pas une égalité du type J(u) = 0. Nous introduisons donc l’extension
suivante du Théorème 2.27 :
Théorème 3.2 Soit V un espace de Banach, et E et J deux fonctionnelles
de V dans IR, différentiables (au sens de Fréchet). On suppose que u ∈ V
vérifie
E(u) = inf {E(v), v ∈ V, J(v) ≤ 0} ,
J(u) ≤ 0
(3.25)
Alors, si J
(u) ≡ 0 dans V
, il existe un réel θ tel que l’on ait l’égalité dans V
E
(u) + θJ
(u) = 0.
(3.26)
De plus, le multiplicateur de Lagrange θ est positif ou nul, et il est nul si
J(u) < 0.
Remarque 3.3 De deux choses l’une :
– soit J(u) = 0 et alors, u est aussi le minimum du problème
inf {E(v), v ∈ V, J(v) = 0} ,
ce qui entraîne par application du Théorème 2.27 qu’il vérifie (3.26) ; la
propriété θ ≥ 0 peut se montrer en développant E(u + tv) au voisinage
de u ;
– soit J(u) < 0, et alors on peut facilement voir que la fonctionnelle E
atteint un minimum local en u (pour v − u V petit, on a J(v) ≤ 0 et
donc E(v) ≥ E(u)) ; il en résulte que E
(u) = 0 par un argument de
calcul différentiel standard ; on a donc bien (3.26) avec θ = 0.
En appliquant ce théorème, on peut affirmer que u vérifie
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu = 0,
(3.27)
pour un certain réel θ ≥ 0.