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3 Le même problème sur l’espace tout entier
3.1.2 Introduction du problème à contrainte relâchée
Pour reconnaître notre limite u comme le minimum d’un problème de minimisation, il est assez naturel, compte tenu de (3.12), d’introduire
˜
I λ = inf
E(u), u ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
|u|
2
≤ λ
,
(3.18)
pour la même fonctionnelle d’énergie
E(u) =
I R 3
|∇u|
2
−
I R 3
Z
|x|
u
2 +
I R 3
|u|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy.
Ce problème est dit problème avec contrainte relâchée puisque la seule différence avec le problème initial (3.1) est que l’on a remplacé la contrainte
d’égalité par une contrainte d’inégalité. La différence est malgré tout de poids :
la boule unité de L
2 est un ensemble convexe, alors que la sphère unité ne
l’est pas. Cette différence explique pourquoi le traitement du problème ˜
I λ est
en fait plus simple que celui du problème I λ : la convergence faible suffit le
plus souvent sur les ensembles convexes, alors que pour les ensembles non
convexes il faudrait établir de la convergence forte (on consultera utilement
l’Exercice 2.7).
On remarque que par les mêmes arguments que ceux employés ci-dessus pour
(3.1), le problème (3.18) est bien posé. Ce que nous allons prouver maintenant
c’est qu’en fait on a l’égalité des infima
I λ = ˜
I λ ,
(3.19)
et à l’aide de (3.13) on en déduira immédiatement que u est un minimum de
(3.18). Pour montrer (3.19), nous allons en fait montrer que la fonction λ → I λ
définie pour λ ≥ 0 est une fonction décroissante, ce qui entraîne évidemment
(3.19). En d’autres termes, nous allons maintenant prouver
λ ≥ α ≥ 0 =⇒ I λ ≤ I α .
(3.20)
Pour montrer (3.20), nous allons rajouter de la masse à l’infini, formule qui
va devenir claire dans un instant.
Soit α < λ, nous voulons montrer I λ ≤ I α . Fixons ε > 0. Par définition de la
borne inférieure I α et par densité des fonctions C
∞ à support compact dans
H
1 (IR
3 ), on peut trouver une fonction v ∈ C
∞
0 (IR
3 ) telle que
I R 3
v
2 = α et
E(v) ≤ I α + ε.
(3.21)
D’autre part, on prétend que l’on peut trouver une fonction w ∈ C
∞
0 (IR
3 )
telle que
I R 3
w
2 = λ − α et
3 Le même problème sur l’espace tout entier
3.1.2 Introduction du problème à contrainte relâchée
Pour reconnaître notre limite u comme le minimum d’un problème de minimisation, il est assez naturel, compte tenu de (3.12), d’introduire
˜
I λ = inf
E(u), u ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
|u|
2
≤ λ
,
(3.18)
pour la même fonctionnelle d’énergie
E(u) =
I R 3
|∇u|
2
−
I R 3
Z
|x|
u
2 +
I R 3
|u|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy.
Ce problème est dit problème avec contrainte relâchée puisque la seule différence avec le problème initial (3.1) est que l’on a remplacé la contrainte
d’égalité par une contrainte d’inégalité. La différence est malgré tout de poids :
la boule unité de L
2 est un ensemble convexe, alors que la sphère unité ne
l’est pas. Cette différence explique pourquoi le traitement du problème ˜
I λ est
en fait plus simple que celui du problème I λ : la convergence faible suffit le
plus souvent sur les ensembles convexes, alors que pour les ensembles non
convexes il faudrait établir de la convergence forte (on consultera utilement
l’Exercice 2.7).
On remarque que par les mêmes arguments que ceux employés ci-dessus pour
(3.1), le problème (3.18) est bien posé. Ce que nous allons prouver maintenant
c’est qu’en fait on a l’égalité des infima
I λ = ˜
I λ ,
(3.19)
et à l’aide de (3.13) on en déduira immédiatement que u est un minimum de
(3.18). Pour montrer (3.19), nous allons en fait montrer que la fonction λ → I λ
définie pour λ ≥ 0 est une fonction décroissante, ce qui entraîne évidemment
(3.19). En d’autres termes, nous allons maintenant prouver
λ ≥ α ≥ 0 =⇒ I λ ≤ I α .
(3.20)
Pour montrer (3.20), nous allons rajouter de la masse à l’infini, formule qui
va devenir claire dans un instant.
Soit α < λ, nous voulons montrer I λ ≤ I α . Fixons ε > 0. Par définition de la
borne inférieure I α et par densité des fonctions C
∞ à support compact dans
H
1 (IR
3 ), on peut trouver une fonction v ∈ C
∞
0 (IR
3 ) telle que
I R 3
v
2 = α et
E(v) ≤ I α + ε.
(3.21)
D’autre part, on prétend que l’on peut trouver une fonction w ∈ C
∞
0 (IR
3 )
telle que
I R 3
w
2 = λ − α et