3.1 Le modèle de TFW sur IR
3 : Premières propriétés
65
mais en fait elle est forte). Ici, on doit être un peu plus précautionneux.
L’astuce consiste à exploiter le fait que le potentiel
1
|x| tend vers 0 à l’infini,
ce qui va nous permettre de nous ramener au cas borné. Pour ε > 0 fixé
arbitrairement, on sait qu’il existe un rayon R assez grand tel que
1
|x| ≤ ε pour
x en dehors de la boule de rayon R centrée à l’origine, et donc, uniformément
en n, on a à la fois
B c
R
1
|x|
u
2
n ≤ ελ,
(3.15)
et
B c
R
1
|x|
u
2
≤ ελ
(3.16)
A l’intérieur de la boule de rayon R, on sait par ailleurs que (u
2
n ) n∈I N converge
fortement vers u
2 , et donc
BR
1
|x|
u
2 = lim
n→+∞
BR
1
|x|
u
2
n ,
(3.17)
En regroupant (3.15), (3.16) et (3.17), on obtient facilement (3.14). Gardons
en mémoire que l’on a utilisé le fait que le potentiel
1
|x| appartient à L
p (IR
3 ) +
L
∞
ε (IR
3 ), pour un certain p >
3
2 , L
∞
ε (IR
3 ) désignant l’espace des fonctions
mesurables f qui tendent uniformément vers 0 à l’infini au sens où
lim
R−→+∞
f L ∞ (B c
R
) = 0.
Les inégalités (3.12) et (3.13) sont pour le moment les seules informations
que nous pouvons obtenir sur u. Quand nous sommes parvenus à ce stade
au Chapitre 2, nous avons remarqué qu’on avait l’égalité dans l’analogue de
(3.12), ce qui nous a permis de montrer
E
Ω (u) ≥ I
Ω
λ ,
d’où nous avons déduit l’égalité dans (3.13) et donc que u était un minimum
du problème. Ici, il va nous falloir une étape supplémentaire. Nous allons
d’abord introduire un problème de minimisation dont notre u est certainement
un minimum, ce qui nous fournira, via l’équation d’Euler-Lagrange associée
à ce problème, de nouvelles informations sur u. Ces informations à leur tour
nous permettront de conclure. En d’autres termes, la logique est un peu la
même que celle du Chapitre 2 : à un certain stade du raisonnement, on ne
dispose plus d’assez d’information sur la limite (au Chapitre 2, c’était quand
on voulait conclure à l’unicité du minimum, ici c’est déjà pour conclure à son
existence). Ce manque d’information est le prix à payer pour avoir utilisé la
convergence faible. On écrit alors une EDP vérifiée par la limite (rappelons que
vérifier une EDP non triviale est une information formidable sur une fonction
donnée), et de l’étude de cette EDP vient l’information manquante.
3 : Premières propriétés
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mais en fait elle est forte). Ici, on doit être un peu plus précautionneux.
L’astuce consiste à exploiter le fait que le potentiel
1
|x| tend vers 0 à l’infini,
ce qui va nous permettre de nous ramener au cas borné. Pour ε > 0 fixé
arbitrairement, on sait qu’il existe un rayon R assez grand tel que
1
|x| ≤ ε pour
x en dehors de la boule de rayon R centrée à l’origine, et donc, uniformément
en n, on a à la fois
B c
R
1
|x|
u
2
n ≤ ελ,
(3.15)
et
B c
R
1
|x|
u
2
≤ ελ
(3.16)
A l’intérieur de la boule de rayon R, on sait par ailleurs que (u
2
n ) n∈I N converge
fortement vers u
2 , et donc
BR
1
|x|
u
2 = lim
n→+∞
BR
1
|x|
u
2
n ,
(3.17)
En regroupant (3.15), (3.16) et (3.17), on obtient facilement (3.14). Gardons
en mémoire que l’on a utilisé le fait que le potentiel
1
|x| appartient à L
p (IR
3 ) +
L
∞
ε (IR
3 ), pour un certain p >
3
2 , L
∞
ε (IR
3 ) désignant l’espace des fonctions
mesurables f qui tendent uniformément vers 0 à l’infini au sens où
lim
R−→+∞
f L ∞ (B c
R
) = 0.
Les inégalités (3.12) et (3.13) sont pour le moment les seules informations
que nous pouvons obtenir sur u. Quand nous sommes parvenus à ce stade
au Chapitre 2, nous avons remarqué qu’on avait l’égalité dans l’analogue de
(3.12), ce qui nous a permis de montrer
E
Ω (u) ≥ I
Ω
λ ,
d’où nous avons déduit l’égalité dans (3.13) et donc que u était un minimum
du problème. Ici, il va nous falloir une étape supplémentaire. Nous allons
d’abord introduire un problème de minimisation dont notre u est certainement
un minimum, ce qui nous fournira, via l’équation d’Euler-Lagrange associée
à ce problème, de nouvelles informations sur u. Ces informations à leur tour
nous permettront de conclure. En d’autres termes, la logique est un peu la
même que celle du Chapitre 2 : à un certain stade du raisonnement, on ne
dispose plus d’assez d’information sur la limite (au Chapitre 2, c’était quand
on voulait conclure à l’unicité du minimum, ici c’est déjà pour conclure à son
existence). Ce manque d’information est le prix à payer pour avoir utilisé la
convergence faible. On écrit alors une EDP vérifiée par la limite (rappelons que
vérifier une EDP non triviale est une information formidable sur une fonction
donnée), et de l’étude de cette EDP vient l’information manquante.