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3 Le même problème sur l’espace tout entier
L’étape suivante est de montrer que l’infimum défini par (3.1) est fini, ce qui
revient à contrôler le terme d’attraction du noyau. En utilisant (3.7), et les
propriétés du polynôme X → X
2
−aX, on peut conclure facilement. On laisse
au lecteur l’exercice facile de conclure avec (3.6) et l’inégalité d’interpolation.
En raisonnant comme au chapitre 2, on en déduit de même que
les suites minimisantes de (3.1) sont bornées dans H
1 (IR
3 ).
Soit (u n ) n∈I N une telle suite. Désignons par u sa limite faible au sens H
1 (IR
3 )
(au besoin on a extrait une sous-suite). Il est aisé de voir, à l’aide du Théorème
de Rellich-Kondrachov, que l’on peut supposer de plus, quitte à extraire une
sous-suite, que u est la limite forte de (u n ) n∈I N au sens L
p
loc (IR
3 ), pour tout 1 ≤
p < 6, c’est-à-dire que (u n ) n∈I N converge fortement vers u dans L
p (Ω) pour
tout ouvert borné Ω. On pourra expliquer en exercice la raison pour laquelle
on peut toujours supposer que la même suite (u n ) n∈I N converge localement
fortement dans tous les L
p (Ω), p quelconque dans [1, 6[ et Ω borné quelconque.
On notera bien la différence avec le fait, qui n’est pas encore établi, mais le
sera à la section 3.2, que (u n ) n∈I N converge fortement vers u dans L
p (IR
3 ).
Essayons maintenant de procéder comme au chapitre 2 et de rassembler le
maximum d’informations sur u. On vise bien sûr à prouver que u est un minimum pour le problème (3.1). La première remarque est qu’on ne peut pas
déduire brutalement
I R 3
u
2 = λ,
(3.11)
puisqu’on n’a pas d’injection compacte de H
1 (IR
3 ) dans L
2 (IR
3 ). Ce sera la
principale difficulté.
Cependant on a
I R 3
u
2
≤ λ,
(3.12)
par application du Théorème 2.20, et on peut de plus obtenir l’information
sur l’énergie
E(u) ≤ lim inf
n→+∞
E(u n ).
(3.13)
Pour établir (3.13), la seule nouvelle difficulté par rapport au cas borné étudié
au chapitre 2 est de montrer
−
I R 3
1
|x|
u
2
≤ lim inf
n→+∞
−
I R 3
1
|x|
u
2
n ,
ce qu’on va montrer en prouvant
I R 3
1
|x|
u
2 = lim
n→+∞
I R 3
1
|x|
u
2
n .
(3.14)
Dans le cas où IR
3 est remplacé par un borné, ceci découle de la convergence
locale de (u
2
n ) n∈I N vers u
2 dans L
5/3 par exemple (la convergence faible suffit,
3 Le même problème sur l’espace tout entier
L’étape suivante est de montrer que l’infimum défini par (3.1) est fini, ce qui
revient à contrôler le terme d’attraction du noyau. En utilisant (3.7), et les
propriétés du polynôme X → X
2
−aX, on peut conclure facilement. On laisse
au lecteur l’exercice facile de conclure avec (3.6) et l’inégalité d’interpolation.
En raisonnant comme au chapitre 2, on en déduit de même que
les suites minimisantes de (3.1) sont bornées dans H
1 (IR
3 ).
Soit (u n ) n∈I N une telle suite. Désignons par u sa limite faible au sens H
1 (IR
3 )
(au besoin on a extrait une sous-suite). Il est aisé de voir, à l’aide du Théorème
de Rellich-Kondrachov, que l’on peut supposer de plus, quitte à extraire une
sous-suite, que u est la limite forte de (u n ) n∈I N au sens L
p
loc (IR
3 ), pour tout 1 ≤
p < 6, c’est-à-dire que (u n ) n∈I N converge fortement vers u dans L
p (Ω) pour
tout ouvert borné Ω. On pourra expliquer en exercice la raison pour laquelle
on peut toujours supposer que la même suite (u n ) n∈I N converge localement
fortement dans tous les L
p (Ω), p quelconque dans [1, 6[ et Ω borné quelconque.
On notera bien la différence avec le fait, qui n’est pas encore établi, mais le
sera à la section 3.2, que (u n ) n∈I N converge fortement vers u dans L
p (IR
3 ).
Essayons maintenant de procéder comme au chapitre 2 et de rassembler le
maximum d’informations sur u. On vise bien sûr à prouver que u est un minimum pour le problème (3.1). La première remarque est qu’on ne peut pas
déduire brutalement
I R 3
u
2 = λ,
(3.11)
puisqu’on n’a pas d’injection compacte de H
1 (IR
3 ) dans L
2 (IR
3 ). Ce sera la
principale difficulté.
Cependant on a
I R 3
u
2
≤ λ,
(3.12)
par application du Théorème 2.20, et on peut de plus obtenir l’information
sur l’énergie
E(u) ≤ lim inf
n→+∞
E(u n ).
(3.13)
Pour établir (3.13), la seule nouvelle difficulté par rapport au cas borné étudié
au chapitre 2 est de montrer
−
I R 3
1
|x|
u
2
≤ lim inf
n→+∞
−
I R 3
1
|x|
u
2
n ,
ce qu’on va montrer en prouvant
I R 3
1
|x|
u
2 = lim
n→+∞
I R 3
1
|x|
u
2
n .
(3.14)
Dans le cas où IR
3 est remplacé par un borné, ceci découle de la convergence
locale de (u
2
n ) n∈I N vers u
2 dans L
5/3 par exemple (la convergence faible suffit,