3.1 Le modèle de TFW sur IR
3 : Premières propriétés
63
I R 3
1
|x|
u
2
≤ 2u L 2 L 2 .
(3.7)
On s’amusera en exercice à chercher d’autres façons de procéder.
Pour le terme d’intégrale double, on peut par exemple procéder comme suit ;
à cause de l’inégalité de Hardy et de l’invariance par translation de IR
3 , on a,
pour x fixé,
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy ≤
I R 3
u
2 (y)
|x − y| 2 dy
1/2
u
2
1/2
≤ 2
I R 3
|∇u|
2
1/2
u
2
1/2
,
(3.8)
ce qui montre que la fonction mesurable x →
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy est bornée sur IR
3 ,
c’est-à-dire appartient à L
∞ (IR
3 ), et on obtient donc l’existence de l’intégrale
double. Au passage, on a prouvé
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy ≤ C
te
L 2 u
3
L 2 .
(3.9)
Il est bien sûr possible de procéder autrement, et nous allons maintenant
donner une autre manière, en introduisant une inégalité très utile, qui a en
fait déjà été utilisée sous des formes particulières, sans le dire !
Théorème 3.1 (Inégalité d’Young) Soient u ∈ L
p (IR
N ) et v ∈ L
q (IR
N )
avec
1 ≤ p ≤ +∞,
1 ≤ q ≤ +∞,
1
p
+
1
q
= 1 +
1
r
.
Alors u u v ∈ L
r (IR
N ) et
u u v L r (I R N ) ≤ ≤u L p (I R N ) v L q (I R N ) .
En utilisant cette inégalité et (3.6), on peut écrire
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy =
I R 3
(u
2
1
|x|
)u
2
≤ ≤u
2
1
|x|
L r
2
L 2s
≤ C
te (u
2
L 2r 1 + u
2
L 2r 2 )u
2
L 2s , (3.10)
pour
1
p
+
1
r 1
= 1 +
1
r
,
1
q
+
1
r 2
= 1 +
1
r
,
1
r
+
1
s
= 1. Nous laissons au lecteur
le soin de choisir les bons exposants pour formaliser le raisonnement.