62
3 Le même problème sur l’espace tout entier
En posant ρ = u
2 , ce problème est aussi
I λ = inf
E(ρ), ρ ≥ 0,
√
ρ ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
ρ = λ
,
(3.3)
E(ρ) =
I R 3
|∇
√ ρ|
2
−
I R 3
Z
|x|
ρ +
I R 3
ρ
5/3
+
1
2
I R 3 ×I R 3
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy.
(3.4)
A des constantes près qui ne jouent aucun rôle dans l’analyse mathématique
que nous allons conduire, on retrouve ainsi le modèle de TFW décrit au Chapitre 1. La première chose à faire est, comme au Chapitre 2, de vérifier que le
problème (3.1)-(3.2) est bien posé. Comme au Chapitre 2, on souligne bien sûr
le fait que les résultats que nous allons établir sur ce cas atomique sont valables
pour le cas d’une molécule, c’est-à-dire le cas où −
I R 3
Z
|x|
u
2 est remplacé par
−
K
k=1
I R 3
z k
|x − ¯
x k |
u
2 avec
K
k=1
z k = Z.
3.1.1 Le problème est bien posé
Il s’agit d’abord de vérifier que tous les termes de l’énergie (3.2) ont bien
un sens pour u ∈ H
1 (IR
3 ). Clairement, les deux seuls termes susceptibles
de poser une difficulté sont
I R 3
Z
|x|
u
2 et
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy. Il y a
plusieurs façons de s’y prendre pour montrer qu’ils sont bien définis. On peut
par exemple commencer par remarquer que
1
|x|
∈ L
p (IR
3 ) + L
q (IR
3 ),
(3.5)
pour au moins un couple (p, q) ∈ [
3
2 , 3[×]3, +∞] (et en fait pour tous). Ceci
est bien sûr une conséquence du fait que la singularité en
1
|x| α est intégrable
à distance finie dans IR
3 si et seulement si α < 3, alors qu’elle est intégrable à
l’infini dans IR
3 si et seulement si α > 3. Comme u ∈ H
1 (IR
3 ) par hypothèse,
u
2 appartient en particulier à L
r (IR
3 ) pour tout 1 ≤ r ≤ 3, et en particulier
pour les valeurs conjuguées de p et q qui sont respectivement dans ]
3
2 , 3[ et
dans ]1,
3
2 [. En utilisant l’inégalité de Hölder, on obtient donc l’existence du
terme
I R 3
Z
|x|
u
2 . De plus, en choisissant par exemple p =
5
2 et q =
7
2 , on a
l’estimation
I R 3
1
|x|
u
2
≤ C
te
2
L 10/3 + u
2
L 14/5
,
(3.6)
qui pourra nous être utile plus loin. Au lieu d’employer (3.5), on peut utiliser
l’inégalité de Cauchy-Schwartz et celle de Hardy et obtenir
3 Le même problème sur l’espace tout entier
En posant ρ = u
2 , ce problème est aussi
I λ = inf
E(ρ), ρ ≥ 0,
√
ρ ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
ρ = λ
,
(3.3)
E(ρ) =
I R 3
|∇
√ ρ|
2
−
I R 3
Z
|x|
ρ +
I R 3
ρ
5/3
+
1
2
I R 3 ×I R 3
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy.
(3.4)
A des constantes près qui ne jouent aucun rôle dans l’analyse mathématique
que nous allons conduire, on retrouve ainsi le modèle de TFW décrit au Chapitre 1. La première chose à faire est, comme au Chapitre 2, de vérifier que le
problème (3.1)-(3.2) est bien posé. Comme au Chapitre 2, on souligne bien sûr
le fait que les résultats que nous allons établir sur ce cas atomique sont valables
pour le cas d’une molécule, c’est-à-dire le cas où −
I R 3
Z
|x|
u
2 est remplacé par
−
K
k=1
I R 3
z k
|x − ¯
x k |
u
2 avec
K
k=1
z k = Z.
3.1.1 Le problème est bien posé
Il s’agit d’abord de vérifier que tous les termes de l’énergie (3.2) ont bien
un sens pour u ∈ H
1 (IR
3 ). Clairement, les deux seuls termes susceptibles
de poser une difficulté sont
I R 3
Z
|x|
u
2 et
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy. Il y a
plusieurs façons de s’y prendre pour montrer qu’ils sont bien définis. On peut
par exemple commencer par remarquer que
1
|x|
∈ L
p (IR
3 ) + L
q (IR
3 ),
(3.5)
pour au moins un couple (p, q) ∈ [
3
2 , 3[×]3, +∞] (et en fait pour tous). Ceci
est bien sûr une conséquence du fait que la singularité en
1
|x| α est intégrable
à distance finie dans IR
3 si et seulement si α < 3, alors qu’elle est intégrable à
l’infini dans IR
3 si et seulement si α > 3. Comme u ∈ H
1 (IR
3 ) par hypothèse,
u
2 appartient en particulier à L
r (IR
3 ) pour tout 1 ≤ r ≤ 3, et en particulier
pour les valeurs conjuguées de p et q qui sont respectivement dans ]
3
2 , 3[ et
dans ]1,
3
2 [. En utilisant l’inégalité de Hölder, on obtient donc l’existence du
terme
I R 3
Z
|x|
u
2 . De plus, en choisissant par exemple p =
5
2 et q =
7
2 , on a
l’estimation
I R 3
1
|x|
u
2
≤ C
te
2
L 10/3 + u
2
L 14/5
,
(3.6)
qui pourra nous être utile plus loin. Au lieu d’employer (3.5), on peut utiliser
l’inégalité de Cauchy-Schwartz et celle de Hardy et obtenir