3
Le même problème sur l’espace tout entier
Avec ce chapitre, nous rentrons dans le vif du sujet : les problèmes variationnels
que nous allons étudier désormais sont posés sur l’espace tout entier.
Nous commençons par regarder le modèle de TFW, introduit au Chapitre 2 sur
un ouvert borné, cette fois posé sur l’espace IR
3 . Son étude formera l’essentiel
de ce chapitre. Nous y soulignerons notamment les différences fondamentales
avec le cas borné. A la Section 3.5, nous verrons une variante de ce modèle,
à savoir la situation purement radiale, dont nous verrons qu’elle introduit
quelques nuances par rapport au modèle standard. A la fin de ce chapitre,
nous étudierons aussi un autre problème de type fonctionnelle de la densité, le
modèle de Thomas-Fermi avec correction de Fermi-Amaldi. Nous motiverons
plus précisément l’étude de ce modèle au début de la Section 3.6 qui lui est
entièrement consacrée.
Dans ce chapitre et dans les suivants, nous adoptons la convention d’écriture
suivante : quand on ne précise pas le domaine d’intégration et/ou la variable
d’intégration, il est implicite que l’on intègre sur l’espace tout entier IR
3 avec
la mesure de Lebesgue. De même, quand on écrit un espace fonctionnel sans
indiquer le domaine (L
p , H
1 , ...), il s’agit là aussi de l’espace tout entier.
3.1 Le modèle de TFW sur IR
3 : Premières propriétés
Le problème de Thomas-Fermi-von Weizsäcker sur IR
3 est le problème de
minimisation suivant :
I λ = inf
E(u), u ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
|u|
2 = λ
,
(3.1)
E(u) =
I R 3
|∇u|
2
−
I R 3
Z
|x|
u
2 +
I R 3
|u|
10/3
+
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy.
(3.2)