Préface
VII
l’examen des modèles introduits au premier chapitre, que la Chimie Quantique
pourrait être appelée, du point de vue mathématique, le domaine du non :
non linéaire, non convexe, non compact. Le Chapitre 2 envisage précisément
un cas où un de ces non n’existe pas encore. On traite d’un problème modèle
posé sur un ouvert borné, en attendant de lever cette restriction au chapitre
suivant (en fait deux des non ont disparu, puisque le modèle est aussi convexe,
mais le caractère borné domine ce second caractère). Cette simplification permet de faire le point sur un certain nombre de connaissances mathématiques
nécessaires pour aborder le problème général, tout en s’affranchissant des difficultés considérables propres aux domaines non bornés. C’est donc dans ce
deuxième chapitre qu’on trouvera les premiers rappels d’Analyse Fonctionnelle et de Calcul Variationnel du niveau de maîtrise (M1). Il faut absolument noter l’observation suivante : on introduit dans ce deuxième chapitre des
notions qui auraient très bien pu être introduites directement sur le cas non
borné, c’est-à-dire au troisième chapitre ; cependant, si on fait le choix de les
introduire dans ce cas borné, c’est parce qu’elles ne sont pas spécifiquement
liées au cas des ouverts non bornés (ou parce qu’elles auraient tout au moins
paru disproportionnées dans ce cadre). En revanche, les notions qui seront
présentées au troisième chapitre sont celles qui sont particulières au cas non
borné et ne pouvaient donc pas être introduites dans le cas borné. De même,
certaines preuves du deuxième chapitre pourraient être rendues plus élégantes
en utilisant des techniques plus sophistiquées, qui s’avéreront nécessaires dans
le cas non borné. On a choisi pourtant de laisser de côté ces preuves, parce
qu’il est toujours plus sain de “faire avec les moyens du bord”.
Avec le troisième chapitre, on aborde pour la première fois un problème de
minimisation posé sur un domaine non borné, et on s’attaque de front à des
difficultés de niveau recherche. Nous commençons par reprendre le modèle
étudié au chapitre 2, mais en le posant cette fois sur l’espace tout entier. La
situation est bien plus complexe, mais reste encore traitable par des techniques
relativement classiques, essentiellement parce qu’un des non mentionné plus
haut est absent : le problème est encore convexe. Nous mettrons en exergue
le lien entre les difficultés rencontrées pour établir l’existence d’un minimum
au problème de minimisation et des questions de Théorie spectrale pour une
classe d’opérateurs auto-adjoints. Il nous a semblé, d’expérience, que les notions de théorie spectrale étaient souvent mal connues des étudiants, et surtout
de ceux qui choisissaient de s’intéresser au sujet de ce livre. Nous avons donc
pris une nouvelle fois le parti de regrouper dans une annexe, l’Annexe B, un
résumé des notions essentielles. Soulignons de nouveau que cette annexe n’a
aucune prétention.
Le quatrième chapitre est celui où on présente la méthode de concentrationcompacité, qui joue un rôle privilégié dans l’étude des problèmes posé sur
des ouverts non bornés comme les nôtres. Nous y verrons comment se comporte une suite minimisante générique, et pourquoi dans les bons cas, on
peut conclure à la compacité de ces suites. Ceci nous permettra de traiter un
VII
l’examen des modèles introduits au premier chapitre, que la Chimie Quantique
pourrait être appelée, du point de vue mathématique, le domaine du non :
non linéaire, non convexe, non compact. Le Chapitre 2 envisage précisément
un cas où un de ces non n’existe pas encore. On traite d’un problème modèle
posé sur un ouvert borné, en attendant de lever cette restriction au chapitre
suivant (en fait deux des non ont disparu, puisque le modèle est aussi convexe,
mais le caractère borné domine ce second caractère). Cette simplification permet de faire le point sur un certain nombre de connaissances mathématiques
nécessaires pour aborder le problème général, tout en s’affranchissant des difficultés considérables propres aux domaines non bornés. C’est donc dans ce
deuxième chapitre qu’on trouvera les premiers rappels d’Analyse Fonctionnelle et de Calcul Variationnel du niveau de maîtrise (M1). Il faut absolument noter l’observation suivante : on introduit dans ce deuxième chapitre des
notions qui auraient très bien pu être introduites directement sur le cas non
borné, c’est-à-dire au troisième chapitre ; cependant, si on fait le choix de les
introduire dans ce cas borné, c’est parce qu’elles ne sont pas spécifiquement
liées au cas des ouverts non bornés (ou parce qu’elles auraient tout au moins
paru disproportionnées dans ce cadre). En revanche, les notions qui seront
présentées au troisième chapitre sont celles qui sont particulières au cas non
borné et ne pouvaient donc pas être introduites dans le cas borné. De même,
certaines preuves du deuxième chapitre pourraient être rendues plus élégantes
en utilisant des techniques plus sophistiquées, qui s’avéreront nécessaires dans
le cas non borné. On a choisi pourtant de laisser de côté ces preuves, parce
qu’il est toujours plus sain de “faire avec les moyens du bord”.
Avec le troisième chapitre, on aborde pour la première fois un problème de
minimisation posé sur un domaine non borné, et on s’attaque de front à des
difficultés de niveau recherche. Nous commençons par reprendre le modèle
étudié au chapitre 2, mais en le posant cette fois sur l’espace tout entier. La
situation est bien plus complexe, mais reste encore traitable par des techniques
relativement classiques, essentiellement parce qu’un des non mentionné plus
haut est absent : le problème est encore convexe. Nous mettrons en exergue
le lien entre les difficultés rencontrées pour établir l’existence d’un minimum
au problème de minimisation et des questions de Théorie spectrale pour une
classe d’opérateurs auto-adjoints. Il nous a semblé, d’expérience, que les notions de théorie spectrale étaient souvent mal connues des étudiants, et surtout
de ceux qui choisissaient de s’intéresser au sujet de ce livre. Nous avons donc
pris une nouvelle fois le parti de regrouper dans une annexe, l’Annexe B, un
résumé des notions essentielles. Soulignons de nouveau que cette annexe n’a
aucune prétention.
Le quatrième chapitre est celui où on présente la méthode de concentrationcompacité, qui joue un rôle privilégié dans l’étude des problèmes posé sur
des ouverts non bornés comme les nôtres. Nous y verrons comment se comporte une suite minimisante générique, et pourquoi dans les bons cas, on
peut conclure à la compacité de ces suites. Ceci nous permettra de traiter un