2.8 Exercices
59
(au sens où
Ω
|∇u|
2 est petit), alors on ne peut pas atteindre des valeurs très
fortes (au sens où
Ω
u
2 est petit aussi). Pour montrer (2.61), on introduit le
problème de minimisation
inf
Ω
|∇u|
2 , u ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
u
2 = 1
.
(2.62)
Montrer que l’infimum est fini, puis qu’il est atteint en une fonction unique
au signe près. En déduire en particulier (2.61) en identifiant la constante C.
Si Ω est un cube, calculer C. Que se passe-t-il pour
inf
Ω
|∇u|
2 , u ∈ H
1 (Ω),
Ω
u
2 = 1
?
(2.63)
Exercice 2.12 On suppose dans cet exercice que le domaine Ω est une boule
centrée à l’origine. Toute fonction u ∈ H
1
0 (Ω) peut être prolongée par la
fonction nulle en dehors de Ω pour donner une fonction de H
1 (IR
3 ), qu’on
note encore u.
La fonction symétrisée de Schwarz de u, notée u
et définie sur IR
3 (et, par
restriction, sur Ω), est construite comme suit. On pose, pour t > 0,
µ(t) = mes
x ∈ IR
3 , |u(x)| > t
,
puis
u
(s) = sup {t > 0, µ(t) > s} ,
et enfin
u
(x) = u
4
3
π|x|
3
.
La fonction u
ainsi construite est radiale décroissante. Bien sûr, si u est radiale décroissante u
= u. On a de plus les trois propriétés très utiles suivantes.
Pour toute fonction F continue telle que F (u) soit intégrable,
I R 3
F (u) =
I R 3
F (u
).
Pour tout couple u, v dans L
2 (IR
3 ),
I R 3
uv ≤
I R 3
u
v
.
Pour tout u ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
|∇u
|
2
≤
I R 3
|∇u|
2 .