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2 Un problème modèle sur un domaine borné
2. Pour u ∈ H
1
0 (Ω), on pose L u = −∆ − V + |u|
2p−2 où p >
3
2 , V continue.
On suppose qu’on dispose de deux fonctions u et v de H
1
0 (Ω) telles que
dans Ω on ait u ≥ 0 et v > 0, et
L u u ≤ 0 ≤ L v v.
Montrer alors que u ≤ v dans Ω. On pourra utiliser (après l’avoir prouvé)
l’inégalité suivante : a
q
≥ b
q + qb
q−1 (a − b) pour q ≥ 2.
3. Considérons maintenant un réel θ et une fonction u ∈ H
1
0 (Ω) non nécessairement de signe constant dans Ω tels que
Ω
u
2 = 1 et
−∆u + V u + |u|
2p−2 u + θu = 0.
Montrer que nécessairement u =
√
ρ 0 ou u = −
√ ρ 0 , où ρ 0 est le minimum
de
inf
Ω
|∇
√ ρ|
2 +
Ω
V ρ +
1
p
Ω
ρ
p , ρ ≥ 0,
√ ρ ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
ρ = 1
.
On pourra utiliser l’inégalité de Harnack et aussi (en l’admettant, voir sa
preuve au Chapitre 10) l’inégalité dite de Kato :
−∆|u| ≤ −sgn(u) ∆u.
Exercice 2.10 Au lieu de considérer le problème (2.2), on considère
I
Ω
λ = inf
E
Ω (u), u ∈ H
1 (Ω),
Ω
|u|
2 = λ
,
(2.60)
pour la même fonctionnelle d’énergie (2.3). Autrement dit, les fonctions sur
lesquelles on minimise ne sont plus astreintes à valoir 0 sur le bord du
domaine. Montrer qu’il existe un minimum pour (2.60). Ecrire l’équation
d’Euler-Lagrange qu’un minimum vérifie. Montrer que le minimum est unique
au signe près.
Exercice 2.11 On se propose de montrer l’Inégalité de Poincaré sous sa
forme la plus simple : si Ω est un domaine borné, il existe une constante
C dépendant uniquement du domaine Ω, telle que, pour tout u ∈ H
1
0 (Ω), on
ait
Ω
u
2
≤ C
Ω
|∇u|
2 .
(2.61)
On comprend bien sûr que l’interprétation intuitive de cette inégalité est la
suivante : si on part d’une valeur petite (u = 0 au bord), et si la pente est faible