2.8 Exercices
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Exercice 2.5 Montrer l’assertion (i) du Théorème 2.13.
Exercice 2.6 On se place dans un espace de Hilbert V séparable. On admettra qu’un tel espace admet une base hilbertienne. On considère dans V une
suite (u n ) n∈I N bornée pour la norme hilbertienne. En décomposant u n sur
une base hilbertienne de V , et en étudiant les suites des coefficients u
k
n de
u n sur cette base, montrer qu’on peut extraire de (u n ) n∈I N une sous-suite
convergeant pour la topologie faible de V . Ceci constitue une preuve, dans ce
cadre particulier, du Théorème 2.13, alinea (ii), et aussi de son Corollaire 2.15.
Exercice 2.7 Démontrer le Théorème 2.21 et déduire de ce résultat une
preuve du Théorème 2.20.
Exercice 2.8 Montrer que la fonctionnelle
ρ →
I R 3
|∇
√ ρ|
2
est convexe sur X = {ρ = u
2 , u ∈ H
1 (IR
3 )}. Est-elle strictement convexe ?
Lorsque Ω est un ouvert borné de IR
3 , mêmes questions pour la fonctionnelle
ρ →
Ω
|∇
√ ρ|
2
sur X = {ρ = u
2 , u ∈ H
1 (Ω)} ?
Exercice 2.9 (difficile) On considère L = −∆ + W avec W continue, en
tant qu’opérateur défini sur H
1
0 (Ω), pour Ω ouvert borné régulier de IR
3 . On
dit que la première valeur propre de cet opérateur avec donnée au bord de
Dirichlet nulle est strictement positive si
λ 1 (L) = inf
u, u ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
u
2 = 1
> 0.
On admettra dans la suite que si cette condition est vérifiée, l’opérateur L
vérifie le principe du maximum faible, c’est-à-dire qu’il vérifie la propriété
suivante : pour toute fonction w de classe C
2 sur Ω telle que Lw ≤ 0 dans
Ω, on a sup Ω w = sup ∂Ω w (voir la preuve de cette propriété au Chapitre 10,
Théorème 10.19).
1. Montrer que s’il existe une fonction v > 0 sur Ω telle que Lv ≥ 0 alors
λ 1 ≥ 0.