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2 Un problème modèle sur un domaine borné
2.8 Exercices
Exercice 2.1 Montrer que, pour p > 3, et u ∈ L
p (Ω) fixée, la fonction
x →
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy
est continue.
Exercice 2.2 Pour ε > 0 et p ∈ [2, 6[ fixés, on considère le problème de
minimisation
inf
ε
2
Ω
|∇u|
2
−
Ω
|u|
p
2/p
, u ∈ H
1 (Ω),
Ω
u
2 = 1
.
(2.58)
Montrer que cet infimum est fini. En déduire que l’inégalité (2.10) est encore
vraie pour u ∈ H
1 (Ω). L’infimum est-il atteint ?
Exercice 2.3
1. Montrer que la fonctionnelle
ρ →
I R 3 ×I R 3
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy
est bien définie, continue, sur L
1 (IR
3 ) ∩ L
3 (IR
3 ) (plus dur : le montrer sur
L
6/5 (IR
3 )). Montrer de plus qu’elle y est strictement convexe et positive.
On remarquera que
1
4π|x|
est la solution élémentaire du Laplacien en
dimension 3.
2. Montrer que, si Ω est un borné de IR
3 ,
ρ →
Ω×Ω
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy
a des propriétés analogues.
Exercice 2.4 Montrer, en s’inspirant de l’Exercice ci-dessus, que la fonction
u →
Ω×Ω
u
2 (x) u
2 (y)
|x − y|
dx dy
(2.59)
est convexe et continue sur H
1
0 (Ω).