2.7 Pour en savoir plus
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minimisation posé sur l’espace tout entier que nous allons étudier au Chapitre
suivant. L’étude sur un borné nous a permis d’introduire un certain nombre
de résultats d’Analyse Fonctionnelle et de Théorie des EDP elliptiques qui
vont nous être utiles dans toute la suite de ces notes. Essentiellement, nous
avons montré que les suites minimisantes étaient bornées dans un espace de
Sobolev, et donc convergeaient faiblement, à extraction près, dans cet espace.
En vertu de la compacité de l’injection de Sobolev sur un borné, nous en avons
déduit l’existence d’au moins un minimum pour le problème de minimisation.
En étudiant en détail l’équation d’Euler-Lagrange vérifiée par un minimum,
et en utilisant un résultat de régularité elliptique, nous avons conclu à une
régularité de cette fonction, et ensuite à son unicité au signe près. Tout au
long de ce Chapitre, nous nous sommes servi de nombreuses inégalités, dont les
inégalités de Hölder, qui réapparaîtront aussi à de nombreuses reprises dans
la suite. Outre les notions et les techniques introduites ici, ce qu’il convient
de retenir de ce Chapitre, c’est que, pour les problèmes que nous regardons :
sur un borné, tout se passe bien.
2.7 Pour en savoir plus
Commençons par mentionner que, si le lecteur a quelques lacunes sur les
prérequis pour aborder la lecture de ce chapitre, il pourra se reporter
– pour la Théorie de la mesure, au tome III du Cours d’Analyse de L.
Schwartz, réédité chez Hermann en 1993,
– pour la Théorie des distributions, à la Théorie des distributions, du
même auteur.
Les résultats que nous venons d’énoncer peuvent se trouver, avec leurs preuves
et de nombreuses extensions, dans
– H. Brézis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson,
– R. A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press 1975,
– E.H. Lieb and M. Loss, Analysis, Graduate studies in Mathematics,
volume 14, AMS 1997.
et aussi dans l’ouvrage nettement plus technique suivant
– D. Gilbarg and N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of
second order, Springer Verlag 1997.
Pour d’autres compléments, on pourra aussi se reporter à
– W.P. Ziemer, Weakly differentiable functions, Springer 1989.
– L.C. Evans and R.F. Gariepy, Measure Theory and fine properties of
functions, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press 1992.
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minimisation posé sur l’espace tout entier que nous allons étudier au Chapitre
suivant. L’étude sur un borné nous a permis d’introduire un certain nombre
de résultats d’Analyse Fonctionnelle et de Théorie des EDP elliptiques qui
vont nous être utiles dans toute la suite de ces notes. Essentiellement, nous
avons montré que les suites minimisantes étaient bornées dans un espace de
Sobolev, et donc convergeaient faiblement, à extraction près, dans cet espace.
En vertu de la compacité de l’injection de Sobolev sur un borné, nous en avons
déduit l’existence d’au moins un minimum pour le problème de minimisation.
En étudiant en détail l’équation d’Euler-Lagrange vérifiée par un minimum,
et en utilisant un résultat de régularité elliptique, nous avons conclu à une
régularité de cette fonction, et ensuite à son unicité au signe près. Tout au
long de ce Chapitre, nous nous sommes servi de nombreuses inégalités, dont les
inégalités de Hölder, qui réapparaîtront aussi à de nombreuses reprises dans
la suite. Outre les notions et les techniques introduites ici, ce qu’il convient
de retenir de ce Chapitre, c’est que, pour les problèmes que nous regardons :
sur un borné, tout se passe bien.
2.7 Pour en savoir plus
Commençons par mentionner que, si le lecteur a quelques lacunes sur les
prérequis pour aborder la lecture de ce chapitre, il pourra se reporter
– pour la Théorie de la mesure, au tome III du Cours d’Analyse de L.
Schwartz, réédité chez Hermann en 1993,
– pour la Théorie des distributions, à la Théorie des distributions, du
même auteur.
Les résultats que nous venons d’énoncer peuvent se trouver, avec leurs preuves
et de nombreuses extensions, dans
– H. Brézis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson,
– R. A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press 1975,
– E.H. Lieb and M. Loss, Analysis, Graduate studies in Mathematics,
volume 14, AMS 1997.
et aussi dans l’ouvrage nettement plus technique suivant
– D. Gilbarg and N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of
second order, Springer Verlag 1997.
Pour d’autres compléments, on pourra aussi se reporter à
– W.P. Ziemer, Weakly differentiable functions, Springer 1989.
– L.C. Evans and R.F. Gariepy, Measure Theory and fine properties of
functions, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press 1992.