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2 Un problème modèle sur un domaine borné
fonction u(R(x, y, z)) où R est une rotation de l’espace IR
3 autour de l’origine, la fonctionnelle d’énergie E
Ω (u) n’est pas modifiée. Si on choisit pour
u le minimum positif de (2.2), on en déduit donc que u(R(·)) est aussi un
minimum positif. Grâce à l’unicité que nous avons montrée à la sous-section
précédente, on en déduit u = u(R(·)) pour toute rotation R autour de 0, et
donc u est une fonction à symétrie radiale.
Ceci est bien sûr très particulier au cas que nous avons choisi et est dû au fait
que Ω est une boule et que le seul noyau est placé en son centre. Le problème
physique que l’on étudie est donc lui-même invariant par rotation autour de
l’origine. Et il était donc légitime de s’attendre à ce que le minimum de la
fonctionnelle partage cette symétrie. Attention ! Ce n’est pas toujours le cas,
il existe des situations physiques où on assiste à ce qu’on appelle une brisure
de symétrie, c’est-à-dire où la solution ne présente pas la symétrie à laquelle
on s’attendait.
En fait, il est possible, sous une hypothèse particulière, de montrer ici un peu
plus, à savoir que u est une fonction non seulement radiale (fonction de la seule
distance r à l’origine), mais aussi décroissante par rapport à la variable r. On
renvoie le lecteur à l’Exercice 2.12 pour cette intéressante application de la
notion de fonction symétrisée de Schwartz.
2.5 Une remarque sur le cas d’une molécule
Il est important de noter que tous les arguments qui ont été faits ci-dessus, à
l’exception bien sûr de ceux de la dernière sous-section sur la symétrie radiale,
peuvent être faits dans le cas où la fonctionnelle d’énergie n’est plus (2.3) mais
E
Ω (u) =
Ω
|∇u|
2
−
K
k=1
Ω
z k
|x − ¯
x k |
u
2 +
Ω
|u|
10/3
+
1
2
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy,
(2.57)
pour des positions ¯
x k , 1 ≤ k ≤ K fixées. En d’autres termes, on a remplacé
l’atome (1 noyau de charge Z placé à l’origine) par une molécule ( K noyaux,
chacun de charge z k , placés en des points ¯
x k ). Comme seule comptait dans
les arguments ci-dessus la nature de la singularité
1
|x| au noyau, on comprend
bien que nos raisonnements s’appliquent fidèlement à ce nouveau cas. C’est
un bon exercice de le vérifier.
2.6 Résumé
Nous avons étudié dans ce Chapitre un problème de minimisation sur un
ouvert borné de IR
3 . Ce problème est la réplique sur un borné d’un problème de
2 Un problème modèle sur un domaine borné
fonction u(R(x, y, z)) où R est une rotation de l’espace IR
3 autour de l’origine, la fonctionnelle d’énergie E
Ω (u) n’est pas modifiée. Si on choisit pour
u le minimum positif de (2.2), on en déduit donc que u(R(·)) est aussi un
minimum positif. Grâce à l’unicité que nous avons montrée à la sous-section
précédente, on en déduit u = u(R(·)) pour toute rotation R autour de 0, et
donc u est une fonction à symétrie radiale.
Ceci est bien sûr très particulier au cas que nous avons choisi et est dû au fait
que Ω est une boule et que le seul noyau est placé en son centre. Le problème
physique que l’on étudie est donc lui-même invariant par rotation autour de
l’origine. Et il était donc légitime de s’attendre à ce que le minimum de la
fonctionnelle partage cette symétrie. Attention ! Ce n’est pas toujours le cas,
il existe des situations physiques où on assiste à ce qu’on appelle une brisure
de symétrie, c’est-à-dire où la solution ne présente pas la symétrie à laquelle
on s’attendait.
En fait, il est possible, sous une hypothèse particulière, de montrer ici un peu
plus, à savoir que u est une fonction non seulement radiale (fonction de la seule
distance r à l’origine), mais aussi décroissante par rapport à la variable r. On
renvoie le lecteur à l’Exercice 2.12 pour cette intéressante application de la
notion de fonction symétrisée de Schwartz.
2.5 Une remarque sur le cas d’une molécule
Il est important de noter que tous les arguments qui ont été faits ci-dessus, à
l’exception bien sûr de ceux de la dernière sous-section sur la symétrie radiale,
peuvent être faits dans le cas où la fonctionnelle d’énergie n’est plus (2.3) mais
E
Ω (u) =
Ω
|∇u|
2
−
K
k=1
Ω
z k
|x − ¯
x k |
u
2 +
Ω
|u|
10/3
+
1
2
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy,
(2.57)
pour des positions ¯
x k , 1 ≤ k ≤ K fixées. En d’autres termes, on a remplacé
l’atome (1 noyau de charge Z placé à l’origine) par une molécule ( K noyaux,
chacun de charge z k , placés en des points ¯
x k ). Comme seule comptait dans
les arguments ci-dessus la nature de la singularité
1
|x| au noyau, on comprend
bien que nos raisonnements s’appliquent fidèlement à ce nouveau cas. C’est
un bon exercice de le vérifier.
2.6 Résumé
Nous avons étudié dans ce Chapitre un problème de minimisation sur un
ouvert borné de IR
3 . Ce problème est la réplique sur un borné d’un problème de