2.4 Propriétés d’une fonction minimisante
53
Lu, u 1 =
Ω
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy
u
u 1 .
A cause de la régularité H
2 que nous avons prouvée plus haut sur u (la même
régularité tenant pour u 1 par un raisonnement identique), on peut à bon droit
utiliser la formule de Green pour montrer que, ces deux fonctions étant nulles
au bord,
Ω
−∆u · u 1 =
Ω
−∆u 1 · u.
On en déduit
u 1 = Lu 1 , u,
ce qui, en utilisant les équations d’Euler-Lagrange et en notant −θ 1 le multiplicateur associé à u 1 (i.e. la première valeur propre de L), entraîne
−θ
Ω
uu 1 = −θ 1
Ω
u 1 u.
Comme u > 0 et u 1 > 0, on a
Ω
uu 1 > 0 et donc θ = θ 1 . Ceci implique
L
u
√
λ
,
u
√
λ
= −θ = −θ 1 = Lu 1 , u 1 ,
et donc
u
√
λ
minimise (2.56), et
u
√
λ
= u 1 . En d’autres termes, nous venons de
prouver que
u
√
λ
est bien la première fonction propre de L, et −θ sa première
valeur propre.
On notera donc bien la chose suivante. En u, le problème n’est pas convexe, et
a fortiori pas strictement convexe ; on n’a donc pas de moyen de montrer que u
est unique, au signe près. En revanche, comme le problème en ρ est strictement
convexe, on sait que u
2 est unique. Mais on ne peut déduire l’unicité au signe
près de u à partir de celle de ρ que si l’on sait que ρ ne s’annule pas, c’està-dire si l’on établit l’existence d’un u > 0 minimum. Dans ce cas, si on fixe
la masse totale
Ω
u
2 , les seules solutions de l’équation d’Euler-Lagrange sont
(u, θ) et (−u, θ). C’est ce qui se passe ici.
Voyons maintenant une conséquence standard de la propriété d’unicité : dans
les cas favorables, on en déduit que la fonction minimisant le problème variationnel partage les mêmes symétries que le problème lui-même.
2.4.4 Symétrie radiale
Nous considérons dans ce paragraphe le cas particulier où le domaine Ω est
une boule de rayon R centrée en 0. Le problème de minimisation (2.2) présente alors la particularité suivante : si l’on change la fonction u(x, y, z) en la
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Lu, u 1 =
Ω
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy
u
u 1 .
A cause de la régularité H
2 que nous avons prouvée plus haut sur u (la même
régularité tenant pour u 1 par un raisonnement identique), on peut à bon droit
utiliser la formule de Green pour montrer que, ces deux fonctions étant nulles
au bord,
Ω
−∆u · u 1 =
Ω
−∆u 1 · u.
On en déduit
u 1 = Lu 1 , u,
ce qui, en utilisant les équations d’Euler-Lagrange et en notant −θ 1 le multiplicateur associé à u 1 (i.e. la première valeur propre de L), entraîne
−θ
Ω
uu 1 = −θ 1
Ω
u 1 u.
Comme u > 0 et u 1 > 0, on a
Ω
uu 1 > 0 et donc θ = θ 1 . Ceci implique
L
u
√
λ
,
u
√
λ
= −θ = −θ 1 = Lu 1 , u 1 ,
et donc
u
√
λ
minimise (2.56), et
u
√
λ
= u 1 . En d’autres termes, nous venons de
prouver que
u
√
λ
est bien la première fonction propre de L, et −θ sa première
valeur propre.
On notera donc bien la chose suivante. En u, le problème n’est pas convexe, et
a fortiori pas strictement convexe ; on n’a donc pas de moyen de montrer que u
est unique, au signe près. En revanche, comme le problème en ρ est strictement
convexe, on sait que u
2 est unique. Mais on ne peut déduire l’unicité au signe
près de u à partir de celle de ρ que si l’on sait que ρ ne s’annule pas, c’està-dire si l’on établit l’existence d’un u > 0 minimum. Dans ce cas, si on fixe
la masse totale
Ω
u
2 , les seules solutions de l’équation d’Euler-Lagrange sont
(u, θ) et (−u, θ). C’est ce qui se passe ici.
Voyons maintenant une conséquence standard de la propriété d’unicité : dans
les cas favorables, on en déduit que la fonction minimisant le problème variationnel partage les mêmes symétries que le problème lui-même.
2.4.4 Symétrie radiale
Nous considérons dans ce paragraphe le cas particulier où le domaine Ω est
une boule de rayon R centrée en 0. Le problème de minimisation (2.2) présente alors la particularité suivante : si l’on change la fonction u(x, y, z) en la