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2 Un problème modèle sur un domaine borné
de régularité entamée à la sous-section précédente : la fonction u
7/3 est elle
aussi par exemple de classe C
4,α pour tout 0 < α < 1 sur tout ouvert inclus
strictement dans Ω, et donc, par régularité elliptique, u est de classe C
6,α sur
un tel ouvert. En itérant, on obtient l’assertion (2.47) à savoir u de classe C
∞
en dehors du noyau. Notons pour conclure sur ces questions de régularité que
u n’est certainement pas de classe C
2 partout. En effet, en divisant (2.34) par
u, à bon droit puisque u > 0, on obtiendrait alors que
1
|x| est borné sur Ω, ce
qui est bien sûr faux !
Une deuxième conséquence est la suivante. On a déjà montré que u était
l’unique minimum, au signe près, de (2.2), mais on a mieux : les couples (u, θ)
et (−u, θ) sont les uniques couples (v, µ) vérifiant
−∆v − Z
1
|x|
v +
5
3
|v|
4/3 v +
Ω
v
2 (y)
|x − y|
dy
v + µv = 0,
(2.53)
et
Ω
v
2 = λ. En effet, on a mentionné plus haut que si (v, µ) vérifiait l’équation d’Euler-Lagrange et si v
2 avait la bonne masse, alors v
2 était la densité
minimisante de (2.48). Comme u > 0, on a donc ρ > 0, et donc u
2 = v
2
implique u = v ou u = −v. L’égalité des multiplicateurs θ = µ suit. En fait,
on a une manière de caractériser, à λ =
Ω
u
2 fixé, la solution u > 0. Notons
L = −∆ − Z
1
|x|
+
5
3
u
4/3 +
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy,
(2.54)
où l’on remarque que L ne dépend pas de u mais seulement de λ via le minimum ρ de (2.48). L’équation (2.34) peut se réécrire
Lu + θu = 0.
(2.55)
L’observation essentielle que nous faisons est la suivante : puisque u > 0, nous
allons montrer que
1
√
λ
u minimise
inf
Lv, v, v ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
v
2 = 1
,
(2.56)
ce qu’on désigne en disant que, à normalisation près, u est la première fonction
propre de l’opérateur L sur Ω avec donnée au bord nulle, et −θ la première
valeur propre (on s’expliquera dans un instant sur l’article défini la première
fonction propre). En effet, par le même raisonnement que celui qui nous a
permis de conclure à l’existence d’un minimum pour (2.2), on peut prouver
qu’il existe u 1 minimisant (2.56) (c’est même plus simple !). En suivant encore
les lignes ci-dessus, on obtient que, quitte à changer u 1 en sa valeur absolue,
on peut choisir u 1 ≥ 0 et donc u 1 > 0. Un tel u 1 est donc unique. C’est la
première fonction propre de L. Calculons maintenant
2 Un problème modèle sur un domaine borné
de régularité entamée à la sous-section précédente : la fonction u
7/3 est elle
aussi par exemple de classe C
4,α pour tout 0 < α < 1 sur tout ouvert inclus
strictement dans Ω, et donc, par régularité elliptique, u est de classe C
6,α sur
un tel ouvert. En itérant, on obtient l’assertion (2.47) à savoir u de classe C
∞
en dehors du noyau. Notons pour conclure sur ces questions de régularité que
u n’est certainement pas de classe C
2 partout. En effet, en divisant (2.34) par
u, à bon droit puisque u > 0, on obtiendrait alors que
1
|x| est borné sur Ω, ce
qui est bien sûr faux !
Une deuxième conséquence est la suivante. On a déjà montré que u était
l’unique minimum, au signe près, de (2.2), mais on a mieux : les couples (u, θ)
et (−u, θ) sont les uniques couples (v, µ) vérifiant
−∆v − Z
1
|x|
v +
5
3
|v|
4/3 v +
Ω
v
2 (y)
|x − y|
dy
v + µv = 0,
(2.53)
et
Ω
v
2 = λ. En effet, on a mentionné plus haut que si (v, µ) vérifiait l’équation d’Euler-Lagrange et si v
2 avait la bonne masse, alors v
2 était la densité
minimisante de (2.48). Comme u > 0, on a donc ρ > 0, et donc u
2 = v
2
implique u = v ou u = −v. L’égalité des multiplicateurs θ = µ suit. En fait,
on a une manière de caractériser, à λ =
Ω
u
2 fixé, la solution u > 0. Notons
L = −∆ − Z
1
|x|
+
5
3
u
4/3 +
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy,
(2.54)
où l’on remarque que L ne dépend pas de u mais seulement de λ via le minimum ρ de (2.48). L’équation (2.34) peut se réécrire
Lu + θu = 0.
(2.55)
L’observation essentielle que nous faisons est la suivante : puisque u > 0, nous
allons montrer que
1
√
λ
u minimise
inf
Lv, v, v ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
v
2 = 1
,
(2.56)
ce qu’on désigne en disant que, à normalisation près, u est la première fonction
propre de l’opérateur L sur Ω avec donnée au bord nulle, et −θ la première
valeur propre (on s’expliquera dans un instant sur l’article défini la première
fonction propre). En effet, par le même raisonnement que celui qui nous a
permis de conclure à l’existence d’un minimum pour (2.2), on peut prouver
qu’il existe u 1 minimisant (2.56) (c’est même plus simple !). En suivant encore
les lignes ci-dessus, on obtient que, quitte à changer u 1 en sa valeur absolue,
on peut choisir u 1 ≥ 0 et donc u 1 > 0. Un tel u 1 est donc unique. C’est la
première fonction propre de L. Calculons maintenant