2.4 Propriétés d’une fonction minimisante
51
– Enfin, comme C ne dépend que de la norme de V , et pas explicitement
de V lui-même, les affirmations précédentes sont uniformément vraies
pour toute une classe d’EDP dont les paramètres partagent une borne
commune.
On remarquera que l’équation d’Euler-Lagrange (2.34) que nous avons à traiter ici ne rentre pas sous la catégorie (2.51), parce que la singularité de l’attraction des noyaux empêche V d’être borné. Nous devons donc utiliser une
extension du Théorème ci-dessus, à savoir.
Corollaire 2.36 Le résultat du Théorème 2.33 reste vrai si la fonction V est
seulement L
p
loc (Ω) pour un certain p >
3
2 (la constante C dépendant alors de
L p (B4R(y)) ).
Revenons maintenant à notre question : u > 0 ? En appliquant le Corollaire cidessus à l’équation (2.34), on obtient facilement que si la fonction u s’annule en
un point (rappelons que u est continue), alors elle est identiquement nulle. En
effet, si x 0 désigne un tel point, on peut trouver R convenable pour l’inégalité
de Harnack (dépendant seulement de la distance de x 0 au bord de Ω) et on
en déduit u ≡ 0 sur B R (x 0 ). De là, on peut recouvrir peu à peu le domaine Ω
tout entier par une suite de boules B Rn (y n ), de rayons variables R n , telles que
B Rn+1 (y n+1 ) coupe B Rn (y n ) et est telle que B 4Rn+1 (y n+1 ) ⊂ Ω. On propage
ainsi de proche en proche le fait que u ≡ 0 sur toutes ces boules, et donc
finalement sur Ω tout entier (un raisonnement classique de connexité conduit
à la même conclusion). Comme
Ω
u
2 = λ > 0, on aboutit bien sûr à une
contradiction, ce qui montre u > 0 sur Ω.
Remarque 2.37 L’utilisation que nous avons faite de l’inégalité de Harnack
est grosso modo la suivante : 1) si u ≥ 0 s’annule en un point, alors u est nulle
au voisinage de ce point, 2) de proche en proche, u est nulle partout. Pour cela,
nous avons bien sûr utilisé le fait que u avait un signe. En fait, on peut faire
la seconde partie du raisonnement sans faire appel à l’inégalité de Harnack et
donc sans l’hypothèse u ≥ 0. Le résultat qu’il faut alors invoquer est connu
sous le nom de principe d’unique continuation, et on peut schématiquement
l’énoncer comme suit : pour une équation du type (2.51) (en particulier), toute
solution nulle sur un ensemble de mesure non nulle est nulle partout.
La conséquence immédiate est que comme u
2 est unique et u continue dans
Ω, on a donc séparation des branches et les seuls minima de (2.2) sont donc
u et −u.
Donnons quelques autres conséquences de la propriété u > 0.
D’abord, une remarque sur la régularité s’impose. Maintenant que nous avons
prouvé u > 0 sur Ω, et en fait u minorée par une constante strictement positive
sur chaque ouvert strictement inclus dans Ω, nous pouvons achever la preuve
51
– Enfin, comme C ne dépend que de la norme de V , et pas explicitement
de V lui-même, les affirmations précédentes sont uniformément vraies
pour toute une classe d’EDP dont les paramètres partagent une borne
commune.
On remarquera que l’équation d’Euler-Lagrange (2.34) que nous avons à traiter ici ne rentre pas sous la catégorie (2.51), parce que la singularité de l’attraction des noyaux empêche V d’être borné. Nous devons donc utiliser une
extension du Théorème ci-dessus, à savoir.
Corollaire 2.36 Le résultat du Théorème 2.33 reste vrai si la fonction V est
seulement L
p
loc (Ω) pour un certain p >
3
2 (la constante C dépendant alors de
L p (B4R(y)) ).
Revenons maintenant à notre question : u > 0 ? En appliquant le Corollaire cidessus à l’équation (2.34), on obtient facilement que si la fonction u s’annule en
un point (rappelons que u est continue), alors elle est identiquement nulle. En
effet, si x 0 désigne un tel point, on peut trouver R convenable pour l’inégalité
de Harnack (dépendant seulement de la distance de x 0 au bord de Ω) et on
en déduit u ≡ 0 sur B R (x 0 ). De là, on peut recouvrir peu à peu le domaine Ω
tout entier par une suite de boules B Rn (y n ), de rayons variables R n , telles que
B Rn+1 (y n+1 ) coupe B Rn (y n ) et est telle que B 4Rn+1 (y n+1 ) ⊂ Ω. On propage
ainsi de proche en proche le fait que u ≡ 0 sur toutes ces boules, et donc
finalement sur Ω tout entier (un raisonnement classique de connexité conduit
à la même conclusion). Comme
Ω
u
2 = λ > 0, on aboutit bien sûr à une
contradiction, ce qui montre u > 0 sur Ω.
Remarque 2.37 L’utilisation que nous avons faite de l’inégalité de Harnack
est grosso modo la suivante : 1) si u ≥ 0 s’annule en un point, alors u est nulle
au voisinage de ce point, 2) de proche en proche, u est nulle partout. Pour cela,
nous avons bien sûr utilisé le fait que u avait un signe. En fait, on peut faire
la seconde partie du raisonnement sans faire appel à l’inégalité de Harnack et
donc sans l’hypothèse u ≥ 0. Le résultat qu’il faut alors invoquer est connu
sous le nom de principe d’unique continuation, et on peut schématiquement
l’énoncer comme suit : pour une équation du type (2.51) (en particulier), toute
solution nulle sur un ensemble de mesure non nulle est nulle partout.
La conséquence immédiate est que comme u
2 est unique et u continue dans
Ω, on a donc séparation des branches et les seuls minima de (2.2) sont donc
u et −u.
Donnons quelques autres conséquences de la propriété u > 0.
D’abord, une remarque sur la régularité s’impose. Maintenant que nous avons
prouvé u > 0 sur Ω, et en fait u minorée par une constante strictement positive
sur chaque ouvert strictement inclus dans Ω, nous pouvons achever la preuve