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2 Un problème modèle sur un domaine borné
−∆u + V u = 0,
(2.51)
pour une fonction V bornée sur Ω. Alors, pour tout R > 0, il existe une
constante C, dépendant seulement de Ω, R, et V L ∞ , telle que l’on ait, pour
tout y ∈ Ω tel que la boule B 4R (y) soit contenue dans Ω,
sup
BR(y)
u ≤ C inf
BR(y)
u.
(2.52)
Remarque 2.34 Dans la mesure où une fonction H
1 n’est pas nécessairement continue, les bornes sup et inf apparaissant dans (2.52) sont un sup et
un inf essentiels. Par exemple, sup est défini comme
sup u = inf {k, u ≤ k presque partout dans Ω} .
Si bien sûr u est continue, ces notions coïncident avec les notions habituelles
de bornes supérieure et inférieure.
Remarque 2.35 Encore une fois, ce résultat est vrai sous d’autres hypothèses : il est vrai en dimension N , il est vrai pour d’autres types d’opérateurs
que −∆ + V (l’important est que l’opérateur soit strictement elliptique). Si on
renforce la régularité de u, en la supposant par exemple W
2,3 , alors on peut
obtenir l’estimée (2.52) pour tout y ∈ Ω tel que la boule B 2R (y) soit contenue
dans Ω. En revanche, l’hypothèse u ≥ 0 est essentielle pour obtenir (2.52).
Ce Théorème appelle un certain nombre de commentaires destinés à souligner
sa force.
– D’abord, il montre que si une solution u ≥ 0 s’annule en un point (si u
n’est pas continue ceci est à prendre au sens où inf u = 0 sur toute boule
ouverte autour de ce point), alors u est identiquement nulle localement
(voir la Remarque 2.37 ci-dessous). C’est l’usage que nous ferons de ce
théorème dans ce Chapitre. Mais en fait, il est beaucoup plus puissant
que cela.
– Pour une fonction donnée u > 0 au voisinage d’un point y, on peut
toujours, sans même contraindre u à être solution d’une EDP, poser
C =
sup B R (y) u
inf B R (y) u et obtenir (2.52), mais la constante dépend alors de R
bien sûr, mais aussi de y et de u.
Ici, on affirme plus : à u donné, on peut rendre la constante C indépendante du point y (pourvu qu’on dispose d’un contrôle uniforme de
la norme de V apparaissant dans l’équation et que y reste assez loin du
bord du domaine).
– Encore mieux : on peut aussi rendre la constante C indépendante de la
solution u. Ces deux propriétés ne sont bien sûr vraies que parce qu’on
ne traite pas une fonction u quelconque, mais une solution u de l’EDP
(2.51).
2 Un problème modèle sur un domaine borné
−∆u + V u = 0,
(2.51)
pour une fonction V bornée sur Ω. Alors, pour tout R > 0, il existe une
constante C, dépendant seulement de Ω, R, et V L ∞ , telle que l’on ait, pour
tout y ∈ Ω tel que la boule B 4R (y) soit contenue dans Ω,
sup
BR(y)
u ≤ C inf
BR(y)
u.
(2.52)
Remarque 2.34 Dans la mesure où une fonction H
1 n’est pas nécessairement continue, les bornes sup et inf apparaissant dans (2.52) sont un sup et
un inf essentiels. Par exemple, sup est défini comme
sup u = inf {k, u ≤ k presque partout dans Ω} .
Si bien sûr u est continue, ces notions coïncident avec les notions habituelles
de bornes supérieure et inférieure.
Remarque 2.35 Encore une fois, ce résultat est vrai sous d’autres hypothèses : il est vrai en dimension N , il est vrai pour d’autres types d’opérateurs
que −∆ + V (l’important est que l’opérateur soit strictement elliptique). Si on
renforce la régularité de u, en la supposant par exemple W
2,3 , alors on peut
obtenir l’estimée (2.52) pour tout y ∈ Ω tel que la boule B 2R (y) soit contenue
dans Ω. En revanche, l’hypothèse u ≥ 0 est essentielle pour obtenir (2.52).
Ce Théorème appelle un certain nombre de commentaires destinés à souligner
sa force.
– D’abord, il montre que si une solution u ≥ 0 s’annule en un point (si u
n’est pas continue ceci est à prendre au sens où inf u = 0 sur toute boule
ouverte autour de ce point), alors u est identiquement nulle localement
(voir la Remarque 2.37 ci-dessous). C’est l’usage que nous ferons de ce
théorème dans ce Chapitre. Mais en fait, il est beaucoup plus puissant
que cela.
– Pour une fonction donnée u > 0 au voisinage d’un point y, on peut
toujours, sans même contraindre u à être solution d’une EDP, poser
C =
sup B R (y) u
inf B R (y) u et obtenir (2.52), mais la constante dépend alors de R
bien sûr, mais aussi de y et de u.
Ici, on affirme plus : à u donné, on peut rendre la constante C indépendante du point y (pourvu qu’on dispose d’un contrôle uniforme de
la norme de V apparaissant dans l’équation et que y reste assez loin du
bord du domaine).
– Encore mieux : on peut aussi rendre la constante C indépendante de la
solution u. Ces deux propriétés ne sont bien sûr vraies que parce qu’on
ne traite pas une fonction u quelconque, mais une solution u de l’EDP
(2.51).