2.4 Propriétés d’une fonction minimisante
49
E
Ω (ρ) =
Ω
|∇
√ ρ|
2
−
Ω
Z
|x|
ρ +
Ω
ρ
5/3 +
1
2
Ω×Ω
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy. (2.49)
Or ce problème est la minimisation d’une fonctionnelle strictement convexe,
E
Ω , sur un ensemble convexe (voir les Exercices 2.3 et 2.8 à la fin de ce
chapitre). Il en résulte que son minimum, s’il existe, est unique.
On peut en fait faire un peu mieux, et montrer que si u est une solution de
l’équation d’Euler-Lagrange pour un certain θ et si u est telle que
Ω
u
2 = λ,
alors u
2 est l’unique minimum de (2.48) et θ est unique (bien noter que ce
résultat est plus fort que celui qui précède). Nous admettons dans la suite ce
résultat, qui est loin d’être simple à prouver.
Une autre remarque simple à faire est que si u minimise (2.2), alors −u et |u|
le minimisent aussi. Il suffit pour cela de noter que, pour u ∈ H
1 (Ω),
Ω
|∇u|
2 =
Ω
|∇|u||
2 ,
(2.50)
ce qui est un exercice classique sur l’utilisation des fonctions u + = max(u, 0)
et u − = −min(u, 0).
Désormais, quitte à changer u en |u|, nous considérons donc un minimum
u ≥ 0 de (2.2).
Nous allons montrer d’abord que u > 0, en utilisant l’équation d’EulerLagrange, et nous en déduirons ensuite que u est unique au signe près, c’està-dire qu’il existe exactement deux minima pour (2.2), à savoir u et −u.
Pour montrer que u > 0, nous allons utiliser un résultat très utile de Théorie
des EDP elliptiques : l’inégalité de Harnack. Avant d’énoncer ce résultat, tentons de faire sentir d’où il sort. Prenons notre exemple simplissime de l’équation u
= f (u) sur un ouvert de la droite réelle, pour une fonction f très
régulière vérifiant f (0) = 0. Supposons qu’on dispose d’une solution u ≥ 0 de
cette équation, de classe C
1 par exemple. Supposons enfin qu’il existe un point
x 0 tel que u(x 0 ) = 0. Alors nécessairement u
(x 0 ) = 0, puisque la fonction
est positive. Nous avons donc une solution u d’une équation du second ordre,
dont la fonction nulle est par ailleurs solution, qui vérifie u(x 0 ) = u
(x 0 ) = 0.
L’unicité clamée par le Théorème de Cauchy-Lipschitz entraîne l’égalité u ≡ 0.
Dans notre cas, nous souhaiterions faire le même type de raisonnement : supposons que notre minimum u ≥ 0 s’annule quelque part, on sent que cela
impose que le gradient s’y annule aussi (au moins en un certain sens), et
on aurait envie d’en déduire, comme en dimension 1, que cela impose que la
fonction soit localement nulle. Le moyen nous en est fourni par le résultat
suivant.
Théorème 2.33 (Inégalité de Harnack) Soit Ω ⊂ IR
3 . Soit u ∈ H
1 (Ω),
u ≥ 0, solution sur Ω de
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E
Ω (ρ) =
Ω
|∇
√ ρ|
2
−
Ω
Z
|x|
ρ +
Ω
ρ
5/3 +
1
2
Ω×Ω
ρ(x)ρ(y)
|x − y|
dx dy. (2.49)
Or ce problème est la minimisation d’une fonctionnelle strictement convexe,
E
Ω , sur un ensemble convexe (voir les Exercices 2.3 et 2.8 à la fin de ce
chapitre). Il en résulte que son minimum, s’il existe, est unique.
On peut en fait faire un peu mieux, et montrer que si u est une solution de
l’équation d’Euler-Lagrange pour un certain θ et si u est telle que
Ω
u
2 = λ,
alors u
2 est l’unique minimum de (2.48) et θ est unique (bien noter que ce
résultat est plus fort que celui qui précède). Nous admettons dans la suite ce
résultat, qui est loin d’être simple à prouver.
Une autre remarque simple à faire est que si u minimise (2.2), alors −u et |u|
le minimisent aussi. Il suffit pour cela de noter que, pour u ∈ H
1 (Ω),
Ω
|∇u|
2 =
Ω
|∇|u||
2 ,
(2.50)
ce qui est un exercice classique sur l’utilisation des fonctions u + = max(u, 0)
et u − = −min(u, 0).
Désormais, quitte à changer u en |u|, nous considérons donc un minimum
u ≥ 0 de (2.2).
Nous allons montrer d’abord que u > 0, en utilisant l’équation d’EulerLagrange, et nous en déduirons ensuite que u est unique au signe près, c’està-dire qu’il existe exactement deux minima pour (2.2), à savoir u et −u.
Pour montrer que u > 0, nous allons utiliser un résultat très utile de Théorie
des EDP elliptiques : l’inégalité de Harnack. Avant d’énoncer ce résultat, tentons de faire sentir d’où il sort. Prenons notre exemple simplissime de l’équation u
= f (u) sur un ouvert de la droite réelle, pour une fonction f très
régulière vérifiant f (0) = 0. Supposons qu’on dispose d’une solution u ≥ 0 de
cette équation, de classe C
1 par exemple. Supposons enfin qu’il existe un point
x 0 tel que u(x 0 ) = 0. Alors nécessairement u
(x 0 ) = 0, puisque la fonction
est positive. Nous avons donc une solution u d’une équation du second ordre,
dont la fonction nulle est par ailleurs solution, qui vérifie u(x 0 ) = u
(x 0 ) = 0.
L’unicité clamée par le Théorème de Cauchy-Lipschitz entraîne l’égalité u ≡ 0.
Dans notre cas, nous souhaiterions faire le même type de raisonnement : supposons que notre minimum u ≥ 0 s’annule quelque part, on sent que cela
impose que le gradient s’y annule aussi (au moins en un certain sens), et
on aurait envie d’en déduire, comme en dimension 1, que cela impose que la
fonction soit localement nulle. Le moyen nous en est fourni par le résultat
suivant.
Théorème 2.33 (Inégalité de Harnack) Soit Ω ⊂ IR
3 . Soit u ∈ H
1 (Ω),
u ≥ 0, solution sur Ω de