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2 Un problème modèle sur un domaine borné
bord de u, et qui généralise (2.42) est encore valable si on ne considère pas la
solution u de l’équation de Laplace (2.40) nulle au bord du domaine régulier,
mais une solution égale à une fonction régulière sur ce bord, à condition qu’on
se restreigne à un sous-domaine strictement inclus dans le domaine de départ.
Plus précisément, si f est de classe C
0,α , α > 0 (attention ! pour f seulement
continue, ce qui va suivre est faux), et si u est de classe C
0 au bord, alors u est
de classe C
2,α sur tout sous-domaine fermé strictement inclus dans l’ouvert Ω
et on a de plus un contrôle de la norme C
2,α du type de l’estimation (2.42)
4 .
En fait, on sait même que si u est supposée de classe C
2,α sur le bord, et
f de classe C
0,α jusqu’au bord compris, alors u est de classe C
2,α jusqu’au
bord compris. Si maintenant B est une boule ouverte dont la fermeture est
contenue dans Ω et ne contient pas le point 0, la fonction f est sur ¯
B de
classe C
0,α , pour tout 0 ≤ α < 1, puisque sur ¯
B la fonction
1
|x|
est de classe
C
∞ . On peut donc déduire de cette extension du Théorème 2.31 que u est de
classe C
2,α pour tout 0 < α < 1 sur une boule plus petite, et donc f aussi. En
déplaçant alors le centre de la boule, on peut recouvrir tout l’ouvert Ω\{0}. On
peut recommencer alors le même argument pour montrer que u est de classe
C
4,α pour tout 0 < α < 1. Pour le moment, pour une raison technique et non
fondamentale due à la présence d’une non linéarité non entière dans l’équation,
nous ne pouvons pas aller au-delà dans ce raisonnement : l’obstruction est
provoquée par le terme de puissance 7/3, qu’on ne peut pas dériver plus de
deux fois, sauf à faire apparaître une puissance négative de u dont on ne
connaît pas (encore) l’existence. Nous terminerons ce raisonnement ci-dessous
en montrant, une fois prouvé le fait que u > 0 sur Ω, que nous pouvons obtenir
in fine
u ∈ C
∞ (Ω\{0}).
(2.47)
Si on avait considéré un potentiel d’attraction du noyau sans singularité, on
aurait bien entendu immédiatement obtenu u de classe C
∞ sur Ω tout entier.
L’équation (2.34) serait alors vraie au sens classique. Dans notre cas, on a un
peu moins de régularité à cause du noyau.
2.4.3 Unicité
Remarquons en premier lieu qu’il est facile de montrer, sans faire appel aux
techniques des deux sous-sections précédentes, que toute fonction u minimisant (2.2) conduit à une seule et unique densité u
2 . En effet, il suffit de
remarquer que si u minimise (2.2), alors u
2 minimise
inf
E
Ω (ρ), ρ ≥ 0,
√ ρ ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
ρ = λ
,
(2.48)
4 Il faut en fait modifier un peu (2.42) en ajoutant une norme de u au membre de
droite.
2 Un problème modèle sur un domaine borné
bord de u, et qui généralise (2.42) est encore valable si on ne considère pas la
solution u de l’équation de Laplace (2.40) nulle au bord du domaine régulier,
mais une solution égale à une fonction régulière sur ce bord, à condition qu’on
se restreigne à un sous-domaine strictement inclus dans le domaine de départ.
Plus précisément, si f est de classe C
0,α , α > 0 (attention ! pour f seulement
continue, ce qui va suivre est faux), et si u est de classe C
0 au bord, alors u est
de classe C
2,α sur tout sous-domaine fermé strictement inclus dans l’ouvert Ω
et on a de plus un contrôle de la norme C
2,α du type de l’estimation (2.42)
4 .
En fait, on sait même que si u est supposée de classe C
2,α sur le bord, et
f de classe C
0,α jusqu’au bord compris, alors u est de classe C
2,α jusqu’au
bord compris. Si maintenant B est une boule ouverte dont la fermeture est
contenue dans Ω et ne contient pas le point 0, la fonction f est sur ¯
B de
classe C
0,α , pour tout 0 ≤ α < 1, puisque sur ¯
B la fonction
1
|x|
est de classe
C
∞ . On peut donc déduire de cette extension du Théorème 2.31 que u est de
classe C
2,α pour tout 0 < α < 1 sur une boule plus petite, et donc f aussi. En
déplaçant alors le centre de la boule, on peut recouvrir tout l’ouvert Ω\{0}. On
peut recommencer alors le même argument pour montrer que u est de classe
C
4,α pour tout 0 < α < 1. Pour le moment, pour une raison technique et non
fondamentale due à la présence d’une non linéarité non entière dans l’équation,
nous ne pouvons pas aller au-delà dans ce raisonnement : l’obstruction est
provoquée par le terme de puissance 7/3, qu’on ne peut pas dériver plus de
deux fois, sauf à faire apparaître une puissance négative de u dont on ne
connaît pas (encore) l’existence. Nous terminerons ce raisonnement ci-dessous
en montrant, une fois prouvé le fait que u > 0 sur Ω, que nous pouvons obtenir
in fine
u ∈ C
∞ (Ω\{0}).
(2.47)
Si on avait considéré un potentiel d’attraction du noyau sans singularité, on
aurait bien entendu immédiatement obtenu u de classe C
∞ sur Ω tout entier.
L’équation (2.34) serait alors vraie au sens classique. Dans notre cas, on a un
peu moins de régularité à cause du noyau.
2.4.3 Unicité
Remarquons en premier lieu qu’il est facile de montrer, sans faire appel aux
techniques des deux sous-sections précédentes, que toute fonction u minimisant (2.2) conduit à une seule et unique densité u
2 . En effet, il suffit de
remarquer que si u minimise (2.2), alors u
2 minimise
inf
E
Ω (ρ), ρ ≥ 0,
√ ρ ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
ρ = λ
,
(2.48)
4 Il faut en fait modifier un peu (2.42) en ajoutant une norme de u au membre de
droite.