2.4 Propriétés d’une fonction minimisante
47
Dans le cas de notre fonction u, nous avons donc à la fois
1 + |ξ| 2 ˆ
u(ξ) ∈
L
2 (IR
3 ) et |ξ|
2 ˆ
u(ξ) ∈ L
2 (IR
3 ), d’où
1 + |ξ| 2 + |ξ| 4 ˆ
u(ξ) ∈ L
2 (IR
3 ), ce qui est
exactement dire u ∈ H
2 (IR
3 ). On a ainsi obtenu la régularité voulue. Dans ce
langage, on voit que contrôler le Laplacien, c’est contrôler |ξ|
2
|ˆ u(ξ)| et donc
en particulier tous les ξ i .ξ j |ˆ u(ξ)|, c’est-à-dire toutes les dérivées partielles
∂
2 u
∂x i ∂x j
. De façon synthétique, on pourrait donc dire que, dans ce cadre simple,
la régularité elliptique n’est rien d’autre que l’inégalité de Cauchy-Schwarz !
Pour obtenir le résultat sur un ouvert borné régulier, on fait localement à
l’intérieur de l’ouvert le même raisonnement que sur l’espace tout entier, en
localisant, puis on traite de manière particulière le voisinage du bord (qui,
par régularité, se ramène à un plan). Bien entendu, de telles preuves sont
techniques, et on en a donné seulement l’esprit.
Reprenons maintenant notre fonction minimisante u, dont nous savons pour
l’instant qu’elle appartient à H
1
0 (Ω) et qu’elle vérifie (2.34). Posons
f = Z
1
|x|
u −
5
3
|u|
4/3 u −
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy
u − θu.
(2.43)
Nous avons donc
−∆u = f.
(2.44)
Que pouvons-nous dire a priori sur la régularité de f ? Comme u ∈ H
1
0 (Ω), il
est assez facile de voir que f ∈ L
2 (Ω). Le terme le moins aisé à traiter est
1
|x|
u,
et on peut par exemple utiliser (2.14) pour montrer qu’il est L
2 . Nous laissons
les autres termes au lecteur. Il en résulte que (2.44) est vraie non seulement
au sens des distributions, mais aussi au sens L
2 . Mieux, en appliquant alors
le Théorème 2.31, on obtient
u ∈ H
2 (Ω).
(2.45)
Compte tenu du Théorème 2.29, cela implique u ∈ C
0,α ( ¯
Ω) pour tout α <
1
2 . On va améliorer cela : conservons pour l’instant le fait que u ∈ L
∞ (Ω).
On peut voir que ceci impose (considérer encore une fois le terme le plus
“méchant”, à savoir
1
|x| u) que f soit dans L
p pour tout 1 ≤ p < 3. Avec le
Théorème 2.31, on obtient donc
u ∈ C
0,α ( ¯
Ω) pour tout
0 ≤ α < 1.
(2.46)
Regardons maintenant ce qui se passe en dehors du point 0, puisque c’est
la singularité en
1
|x|
qui nous crée les difficultés. Nous devons tout d’abord
faire une remarque sur le Théorème 2.31. Conformément à ce que nous avons
annoncé à la Remarque 2.30, une estimation, qui fait intervenir la valeur au
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Dans le cas de notre fonction u, nous avons donc à la fois
1 + |ξ| 2 ˆ
u(ξ) ∈
L
2 (IR
3 ) et |ξ|
2 ˆ
u(ξ) ∈ L
2 (IR
3 ), d’où
1 + |ξ| 2 + |ξ| 4 ˆ
u(ξ) ∈ L
2 (IR
3 ), ce qui est
exactement dire u ∈ H
2 (IR
3 ). On a ainsi obtenu la régularité voulue. Dans ce
langage, on voit que contrôler le Laplacien, c’est contrôler |ξ|
2
|ˆ u(ξ)| et donc
en particulier tous les ξ i .ξ j |ˆ u(ξ)|, c’est-à-dire toutes les dérivées partielles
∂
2 u
∂x i ∂x j
. De façon synthétique, on pourrait donc dire que, dans ce cadre simple,
la régularité elliptique n’est rien d’autre que l’inégalité de Cauchy-Schwarz !
Pour obtenir le résultat sur un ouvert borné régulier, on fait localement à
l’intérieur de l’ouvert le même raisonnement que sur l’espace tout entier, en
localisant, puis on traite de manière particulière le voisinage du bord (qui,
par régularité, se ramène à un plan). Bien entendu, de telles preuves sont
techniques, et on en a donné seulement l’esprit.
Reprenons maintenant notre fonction minimisante u, dont nous savons pour
l’instant qu’elle appartient à H
1
0 (Ω) et qu’elle vérifie (2.34). Posons
f = Z
1
|x|
u −
5
3
|u|
4/3 u −
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy
u − θu.
(2.43)
Nous avons donc
−∆u = f.
(2.44)
Que pouvons-nous dire a priori sur la régularité de f ? Comme u ∈ H
1
0 (Ω), il
est assez facile de voir que f ∈ L
2 (Ω). Le terme le moins aisé à traiter est
1
|x|
u,
et on peut par exemple utiliser (2.14) pour montrer qu’il est L
2 . Nous laissons
les autres termes au lecteur. Il en résulte que (2.44) est vraie non seulement
au sens des distributions, mais aussi au sens L
2 . Mieux, en appliquant alors
le Théorème 2.31, on obtient
u ∈ H
2 (Ω).
(2.45)
Compte tenu du Théorème 2.29, cela implique u ∈ C
0,α ( ¯
Ω) pour tout α <
1
2 . On va améliorer cela : conservons pour l’instant le fait que u ∈ L
∞ (Ω).
On peut voir que ceci impose (considérer encore une fois le terme le plus
“méchant”, à savoir
1
|x| u) que f soit dans L
p pour tout 1 ≤ p < 3. Avec le
Théorème 2.31, on obtient donc
u ∈ C
0,α ( ¯
Ω) pour tout
0 ≤ α < 1.
(2.46)
Regardons maintenant ce qui se passe en dehors du point 0, puisque c’est
la singularité en
1
|x|
qui nous crée les difficultés. Nous devons tout d’abord
faire une remarque sur le Théorème 2.31. Conformément à ce que nous avons
annoncé à la Remarque 2.30, une estimation, qui fait intervenir la valeur au