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2 Un problème modèle sur un domaine borné
Remarque 2.30 Plus précisément, les résultats que l’on va mentionner maintenant disent qu’on contrôle la régularité de la façon indiquée ci-dessus,
à condition que la fonction soit nulle au bord du domaine. Ces résultats
s’adaptent dans le cas où la fonction n’est plus nulle au bord : on contrôle alors
toutes les dérivées partielles jusqu’au second ordre si on contrôle le laplacien
et la valeur au bord. Nous verrons plus loin une application d’un résultat de
ce type.
Dans l’esprit, ces énoncés sont donc tout à fait proches des résultats liés au
principe du maximum, que nous verrons dans un prochain chapitre.
Théorème 2.31 (“Régularité elliptique”) Soit Ω un ouvert borné de IR
3 .
Soit u ∈ H
1
0 (Ω) vérifiant
−∆u = f,
(2.40)
au sens des distributions pour un certain f . Soient k ≥ 2, 1 < p < +∞,
0 < α < 1.
– Si Ω est de classe C
k , et f ∈ W
k−2,p (Ω), alors u ∈ W
k,p (Ω). De plus,
on a l’inégalité dite estimée L
p
u W k,p (Ω) ≤ Cf W k−2,p (Ω) ,
(2.41)
pour une certaine constante C indépendante de u et f .
– Si Ω est de classe C
k,α , et f ∈ C
k−2,α ( ¯
Ω), alors u ∈ C
k,α ( ¯
Ω). De plus,
on a l’inégalité dite estimée de Schauder
C k,α ( ¯
Ω) ≤ Cf C k−2,α ( ¯
Ω) ,
(2.42)
pour une certaine constante C indépendante de u et f .
Remarque 2.32 Noter que les cas α = 0, 1 et p = 1, +∞ sont exclus.
Avant de l’appliquer, il est instructif de comprendre, avec un argument simple
sur un cas simple, pourquoi la propriété de régularité elliptique est vraie.
Plaçons-nous dans IR
3 (par exemple) et considérons une fonction u ∈ H
1 (IR
3 )
qui vérifie
−∆u = f ∈ L
2 (IR
3 ),
ce qui correspond au cas k = p = 2 du Théorème 2.31, premier point.
Rappelons alors une définition possible des espaces H
k (IR
3 ), k = 0, 1, 2, ...,
qui utilise la transformée de Fourier, ici notée par un chapeau :
u ∈ H
k (IR
3 ) si et seulement si
1 + |ξ| 2 + ... + |ξ| 2k ˆ
u(ξ) ∈ L
2 (IR
3 ).
Par exemple, si k = 0 on retrouve bien le fait que la transformée de Fourier
envoie L
2 (IR
3 ) dans lui-même, et on utilise ensuite le fait que
∂u
∂x j
(ξ) = iξ j ˆ
u(ξ).
2 Un problème modèle sur un domaine borné
Remarque 2.30 Plus précisément, les résultats que l’on va mentionner maintenant disent qu’on contrôle la régularité de la façon indiquée ci-dessus,
à condition que la fonction soit nulle au bord du domaine. Ces résultats
s’adaptent dans le cas où la fonction n’est plus nulle au bord : on contrôle alors
toutes les dérivées partielles jusqu’au second ordre si on contrôle le laplacien
et la valeur au bord. Nous verrons plus loin une application d’un résultat de
ce type.
Dans l’esprit, ces énoncés sont donc tout à fait proches des résultats liés au
principe du maximum, que nous verrons dans un prochain chapitre.
Théorème 2.31 (“Régularité elliptique”) Soit Ω un ouvert borné de IR
3 .
Soit u ∈ H
1
0 (Ω) vérifiant
−∆u = f,
(2.40)
au sens des distributions pour un certain f . Soient k ≥ 2, 1 < p < +∞,
0 < α < 1.
– Si Ω est de classe C
k , et f ∈ W
k−2,p (Ω), alors u ∈ W
k,p (Ω). De plus,
on a l’inégalité dite estimée L
p
u W k,p (Ω) ≤ Cf W k−2,p (Ω) ,
(2.41)
pour une certaine constante C indépendante de u et f .
– Si Ω est de classe C
k,α , et f ∈ C
k−2,α ( ¯
Ω), alors u ∈ C
k,α ( ¯
Ω). De plus,
on a l’inégalité dite estimée de Schauder
C k,α ( ¯
Ω) ≤ Cf C k−2,α ( ¯
Ω) ,
(2.42)
pour une certaine constante C indépendante de u et f .
Remarque 2.32 Noter que les cas α = 0, 1 et p = 1, +∞ sont exclus.
Avant de l’appliquer, il est instructif de comprendre, avec un argument simple
sur un cas simple, pourquoi la propriété de régularité elliptique est vraie.
Plaçons-nous dans IR
3 (par exemple) et considérons une fonction u ∈ H
1 (IR
3 )
qui vérifie
−∆u = f ∈ L
2 (IR
3 ),
ce qui correspond au cas k = p = 2 du Théorème 2.31, premier point.
Rappelons alors une définition possible des espaces H
k (IR
3 ), k = 0, 1, 2, ...,
qui utilise la transformée de Fourier, ici notée par un chapeau :
u ∈ H
k (IR
3 ) si et seulement si
1 + |ξ| 2 + ... + |ξ| 2k ˆ
u(ξ) ∈ L
2 (IR
3 ).
Par exemple, si k = 0 on retrouve bien le fait que la transformée de Fourier
envoie L
2 (IR
3 ) dans lui-même, et on utilise ensuite le fait que
∂u
∂x j
(ξ) = iξ j ˆ
u(ξ).