2.4 Propriétés d’une fonction minimisante
45
C
k,α ( ¯
Ω) =
u ∈ C
k ( ¯
Ω),
∂
|θ| u
∂x θ ∈ C
0,α ( ¯
Ω), 1 ≤ |θ| ≤ k
.
(2.38)
Nous posons que C
k,0 ( ¯
Ω) = C
k ( ¯
Ω), et munissons les espaces C
k,α ( ¯
Ω) (k ≥ 0,
0 < α < 1) de la norme
C k,α ( ¯
Ω) = u C k ( ¯
Ω) + sup
|θ|=k
sup
x =y∈ ¯
Ω
|
∂
|θ| u
∂x θ (x) −
∂
|θ| u
∂x θ (y)|
|x − y| α
.
(2.39)
Munis de ces définitions, nous donnons maintenant un résultat qui généralise
le Théorème 2.2.
Théorème 2.29
1) Cas de l’espace tout entier
On a les injections suivantes :
– si
1
p −
k
3 > 0, l’espace W
k,p (IR
3 ) s’injecte de façon continue dans L
q (IR
3 )
pour
1
q =
1
p −
k
3 ,
– si
1
p −
k
3 = 0, l’espace W
k,p (IR
3 ) s’injecte de façon continue dans L
q (IR
3 )
pour tout p ≤ q < +∞,
– si
1
p −
k
3 < 0, l’espace W
k,p (IR
3 ) s’injecte de façon continue dans
L
∞ (IR
3 ), et, si k −
3
p n’est pas entier, W
k,p (IR
3 ) s’injecte de façon continue dans C
m,α (IR
3 ) pour m = [k −
3
p ] et α = k −
3
p − m.
2) Cas d’un borné
Soit Ω un ouvert borné de classe C
1 de IR
3 . Alors,
– si
1
p −
k
3 > 0, l’espace W
k,p (Ω) s’injecte de façon continue dans L
q (Ω)
pour tout q ≥ 1 tel que
1
q ≥
1
p −
k
3 , l’injection étant compacte si
1
q >
1
p −
k
3 ,
– si
1
p −
k
3 = 0, l’espace W
k,p (Ω) s’injecte de façon compacte dans L
q (Ω)
pour tout 1 ≤ q < +∞,
– si
1
p −
k
3 < 0, l’espace W
k,p (Ω) s’injecte de façon compacte dans C( ¯
Ω),
et, si k −
3
p n’est pas entier, W
k,p (Ω) s’injecte de façon continue dans
C
m,α ( ¯
Ω) pour m = [k −
3
p ] et α = k −
3
p − m, l’injection étant compacte
pour 0 ≤ α < k −
3
p − m.
Le second résultat qui nous sera utile ici est un résultat dit de régularité
elliptique. Schématiquement, ce résultat dit la chose suivante : si on contrôle
la régularité du laplacien sur un ouvert régulier, c’est-à-dire d’une certaine
combinaison de certaines dérivées partielles secondes d’une fonction H
1
0 (ne
pas oublier que la fonction dépend de plusieurs variables d’espace), alors on
contrôle en fait toutes les dérivées partielles secondes, et donc la fonction est
de classe H
2 .
45
C
k,α ( ¯
Ω) =
u ∈ C
k ( ¯
Ω),
∂
|θ| u
∂x θ ∈ C
0,α ( ¯
Ω), 1 ≤ |θ| ≤ k
.
(2.38)
Nous posons que C
k,0 ( ¯
Ω) = C
k ( ¯
Ω), et munissons les espaces C
k,α ( ¯
Ω) (k ≥ 0,
0 < α < 1) de la norme
C k,α ( ¯
Ω) = u C k ( ¯
Ω) + sup
|θ|=k
sup
x =y∈ ¯
Ω
|
∂
|θ| u
∂x θ (x) −
∂
|θ| u
∂x θ (y)|
|x − y| α
.
(2.39)
Munis de ces définitions, nous donnons maintenant un résultat qui généralise
le Théorème 2.2.
Théorème 2.29
1) Cas de l’espace tout entier
On a les injections suivantes :
– si
1
p −
k
3 > 0, l’espace W
k,p (IR
3 ) s’injecte de façon continue dans L
q (IR
3 )
pour
1
q =
1
p −
k
3 ,
– si
1
p −
k
3 = 0, l’espace W
k,p (IR
3 ) s’injecte de façon continue dans L
q (IR
3 )
pour tout p ≤ q < +∞,
– si
1
p −
k
3 < 0, l’espace W
k,p (IR
3 ) s’injecte de façon continue dans
L
∞ (IR
3 ), et, si k −
3
p n’est pas entier, W
k,p (IR
3 ) s’injecte de façon continue dans C
m,α (IR
3 ) pour m = [k −
3
p ] et α = k −
3
p − m.
2) Cas d’un borné
Soit Ω un ouvert borné de classe C
1 de IR
3 . Alors,
– si
1
p −
k
3 > 0, l’espace W
k,p (Ω) s’injecte de façon continue dans L
q (Ω)
pour tout q ≥ 1 tel que
1
q ≥
1
p −
k
3 , l’injection étant compacte si
1
q >
1
p −
k
3 ,
– si
1
p −
k
3 = 0, l’espace W
k,p (Ω) s’injecte de façon compacte dans L
q (Ω)
pour tout 1 ≤ q < +∞,
– si
1
p −
k
3 < 0, l’espace W
k,p (Ω) s’injecte de façon compacte dans C( ¯
Ω),
et, si k −
3
p n’est pas entier, W
k,p (Ω) s’injecte de façon continue dans
C
m,α ( ¯
Ω) pour m = [k −
3
p ] et α = k −
3
p − m, l’injection étant compacte
pour 0 ≤ α < k −
3
p − m.
Le second résultat qui nous sera utile ici est un résultat dit de régularité
elliptique. Schématiquement, ce résultat dit la chose suivante : si on contrôle
la régularité du laplacien sur un ouvert régulier, c’est-à-dire d’une certaine
combinaison de certaines dérivées partielles secondes d’une fonction H
1
0 (ne
pas oublier que la fonction dépend de plusieurs variables d’espace), alors on
contrôle en fait toutes les dérivées partielles secondes, et donc la fonction est
de classe H
2 .