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2 Un problème modèle sur un domaine borné
En prenant h une fonction quelconque de C
∞
0 (Ω), il est facile de voir que ceci
entraîne
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu = 0,
(2.34)
au sens des distributions. L’étude de (2.34) va nous en apprendre beaucoup
sur u.
2.4.2 Régularité
Nous allons montrer dans cette section que le fait que u soit solution de l’équation (2.34) lui confère une bien plus grande régularité que la régularité qu’on
lui connaissait a priori, à savoir H
1 . En effet, nous montrerons en particulier
que, en dehors du point 0, u coïncide avec une fonction de classe C
∞ . Le
mécanisme que nous allons détailler est en gros basé sur l’analogue du raisonnement suivant : si une fonction réelle u, dérivable deux fois, vérifie sur la
droite réelle u
= u, alors en fait u
est aussi dérivable deux fois, donc u est
dérivable quatre fois, etc... et donc u est indéfiniment dérivable (bien sûr, on
peut dans ce cas simple intégrer cette équation et déterminer u, mais ce n’est
pas la question car ce ne sera pas toujours possible !). Pour mettre en œuvre un
raisonnement de ce type sur (2.34), il nous faut malheureusement être technique. Nous sommes donc amenés à énoncer, toujours sans démonstration,
quelques résultats pointus.
Tout d’abord, nous rappelons que l’espace de Sobolev H
1 (Ω) que nous manipulons depuis le début de ce chapitre n’est en fait qu’un cas particulier des
espaces de Sobolev W
k,p d’ordre supérieur, dont on rappelle qu’ils sont définis
comme les espaces des distributions dont toutes les dérivées partielles jusqu’à
l’ordre global k sont de classe L
p :
W
k,p (Ω) =
u ∈ L
p (Ω),
∂
|θ| u
∂x θ ∈ L
p (Ω), 1 ≤ |θ| ≤ k
.
(2.35)
On a par exemple, H
1 (Ω) = W
1,2 (Ω). Cet espace est bien sûr muni de la
norme
W k,p (Ω) =
|θ|≤k
∂
|θ| u
∂x θ
p
L p (Ω)
1
p
.
(2.36)
Introduisons aussi la classe d’espaces fonctionnels suivante, dits espaces de
Hölder, pour 0 < α < 1 :
C
0,α ( ¯
Ω) =
u ∈ C( ¯
Ω),
sup
x =y∈ ¯
Ω
|u(x) − u(y)|
|x − y| α
< +∞
(2.37)
et, pour 0 < α < 1 et k ≥ 0,
2 Un problème modèle sur un domaine borné
En prenant h une fonction quelconque de C
∞
0 (Ω), il est facile de voir que ceci
entraîne
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu = 0,
(2.34)
au sens des distributions. L’étude de (2.34) va nous en apprendre beaucoup
sur u.
2.4.2 Régularité
Nous allons montrer dans cette section que le fait que u soit solution de l’équation (2.34) lui confère une bien plus grande régularité que la régularité qu’on
lui connaissait a priori, à savoir H
1 . En effet, nous montrerons en particulier
que, en dehors du point 0, u coïncide avec une fonction de classe C
∞ . Le
mécanisme que nous allons détailler est en gros basé sur l’analogue du raisonnement suivant : si une fonction réelle u, dérivable deux fois, vérifie sur la
droite réelle u
= u, alors en fait u
est aussi dérivable deux fois, donc u est
dérivable quatre fois, etc... et donc u est indéfiniment dérivable (bien sûr, on
peut dans ce cas simple intégrer cette équation et déterminer u, mais ce n’est
pas la question car ce ne sera pas toujours possible !). Pour mettre en œuvre un
raisonnement de ce type sur (2.34), il nous faut malheureusement être technique. Nous sommes donc amenés à énoncer, toujours sans démonstration,
quelques résultats pointus.
Tout d’abord, nous rappelons que l’espace de Sobolev H
1 (Ω) que nous manipulons depuis le début de ce chapitre n’est en fait qu’un cas particulier des
espaces de Sobolev W
k,p d’ordre supérieur, dont on rappelle qu’ils sont définis
comme les espaces des distributions dont toutes les dérivées partielles jusqu’à
l’ordre global k sont de classe L
p :
W
k,p (Ω) =
u ∈ L
p (Ω),
∂
|θ| u
∂x θ ∈ L
p (Ω), 1 ≤ |θ| ≤ k
.
(2.35)
On a par exemple, H
1 (Ω) = W
1,2 (Ω). Cet espace est bien sûr muni de la
norme
W k,p (Ω) =
|θ|≤k
∂
|θ| u
∂x θ
p
L p (Ω)
1
p
.
(2.36)
Introduisons aussi la classe d’espaces fonctionnels suivante, dits espaces de
Hölder, pour 0 < α < 1 :
C
0,α ( ¯
Ω) =
u ∈ C( ¯
Ω),
sup
x =y∈ ¯
Ω
|u(x) − u(y)|
|x − y| α
< +∞
(2.37)
et, pour 0 < α < 1 et k ≥ 0,