2.4 Propriétés d’une fonction minimisante
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2.4.1 Equation d’Euler-Lagrange
Nous allons rappeler ici la notion d’équation d’Euler-Lagrange et la notion
de multiplicateur de Lagrange, deux notions qui seront omniprésentes dans la
suite de ces notes.
Disons pour introduire le résultat qui va suivre qu’il est l’extension du résultat trivial suivant : si une fonction f différentiable de IR dans IR atteint un
minimum en x 0 ∈ IR, alors f
(x 0 ) = 0.
Théorème 2.27 Soit V un espace de Banach, et E et J deux fonctionnelles
de V dans IR, différentiables (au sens de Fréchet). On suppose que u ∈ V
vérifie
E(u) = inf {E(v), v ∈ V, J(v) = 0} ,
J(u) = 0.
(2.31)
Alors, si J
(u) ≡ 0 dans V
, il existe un réel θ tel que l’on ait l’égalité dans V
E
(u) + θJ
(u) = 0.
(2.32)
On appelle (2.32) l’Equation d’Euler-Lagrange du problème de minimisation,
et θ le multiplicateur de Lagrange associé à u.
Remarque 2.28 Bien noter qu’on ne prétend pas qu’il existe un tel u, et
qu’on ne dit pas non plus que tout u vérifiant (2.32) est un minimum.
Il est clair que dans le cas qui nous intéresse nous avons V = H
1
0 (Ω), E(v) =
E
Ω (v), J(v) =
Ω
v
2
− λ. Il s’agit d’abord de vérifier que E et J ainsi définies
sont différentiables. Le cas de J est bien sûr le plus simple et il est aisé de voir
que, en chaque point v ∈ H
1
0 (Ω), la différentielle de J en v s’exprime, pour
tout h ∈ H
1
0 (Ω), par
1
2
J
(v) · h =
Ω
vh.
On laisse au lecteur l’exercice consistant à prouver que la fonctionnelle E
Ω
est elle aussi différentiable et que sa différentielle est donnée, pour tout h ∈
H
1
0 (Ω), par
1
2
E
(v) · h =
Ω
∇v · ∇h − Z
Ω
1
|x|
vh +
5
3
Ω
|v|
4/3 vh +
Ω
v(x)h(x)v
2 (y)
|x − y|
.
En vertu du Théorème 2.27, nous pouvons donc affirmer qu’une fonction minimisante u vérifie, pour un certain θ ∈ IR et tout h ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
∇u · ∇h − Z
Ω
1
|x|
uh +
5
3
Ω
|u|
4/3 uh +
Ω
u(x)h(x)u
2 (y)
|x − y|
+ θ
Ω
uh = 0.
(2.33)