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2 Un problème modèle sur un domaine borné
en fait une convergence forte dans cet espace (cette observation n’a bien sûr
rien de général, mais est liée à la nature particulière de notre problème). En
effet, nous avons prouvé
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
lim inf
n→+∞
Ω
|u n |
10/3
≥
Ω
|u|
10/3 ,
lim inf
n→+∞
1
2
Ω×Ω
u
2
n (x)u
2
n (y)
|x − y|
≥
1
2
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
,
lim
n→+∞
−
Ω
1
|x|
u
2
n = −
Ω
1
|x|
u
2 ,
lim n→+∞ −E
Ω (u n ) = −E
Ω (u).
D’où, en sommant les quatre assertions,
lim inf
n→+∞
−
Ω
|∇u n |
2
≥ −
Ω
|∇u|
2 ,
c’est-à-dire
lim sup
n→+∞
Ω
|∇u n |
2
≤
Ω
|∇u|
2 .
(2.29)
Nous appliquons maintenant le
Théorème 2.26 Une suite (u n ) n∈I N qui converge faiblement vers u dans
H
1
0 (Ω) (respectivement dans L
p (Ω), 1 < p < +∞) et qui vérifie
≥ lim sup
n→+∞
u n
(2.30)
(et donc u = lim u n en vertu du Théorème 2.20) où la norme · · désigne
la norme H
1 (respectivement L
p , 1 < p < +∞) converge fortement vers u
dans H
1
0 (Ω) (respectivement dans L
p (Ω), 1 < p < +∞).
Et (2.29) nous permet de conclure à la convergence forte H
1 .
Notons pour finir que, pour le moment, nous ne savons pas si u est indépendant
ou non de la suite minimisante, et de l’extraction, choisies. Ceci sera en fait
une conséquence directe de la propriété d’unicité (au signe près) que nous
verrons plus loin. En anticipant sur cette propriété, nous pouvons dire que
pour toute suite minimisante (u n ) n∈I N , (u n ) n∈I N convergera vers une limite ne
dépendant pas de la suite.
Plus généralement, il s’agit maintenant pour nous d’explorer les qualités d’une
limite u.
2.4 Propriétés d’une fonction minimisante
Nous considérons une fonction u minimisant le problème (2.2), et nous nous
posons la question : quelles propriétés particulières a-t-elle ? Sa propriété fondamentale, de laquelle découleront toutes les autres, est de vérifier ce qu’on appelle l’équation d’Euler-Lagrange associée au problème de minimisation (2.2).
2 Un problème modèle sur un domaine borné
en fait une convergence forte dans cet espace (cette observation n’a bien sûr
rien de général, mais est liée à la nature particulière de notre problème). En
effet, nous avons prouvé
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
lim inf
n→+∞
Ω
|u n |
10/3
≥
Ω
|u|
10/3 ,
lim inf
n→+∞
1
2
Ω×Ω
u
2
n (x)u
2
n (y)
|x − y|
≥
1
2
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
,
lim
n→+∞
−
Ω
1
|x|
u
2
n = −
Ω
1
|x|
u
2 ,
lim n→+∞ −E
Ω (u n ) = −E
Ω (u).
D’où, en sommant les quatre assertions,
lim inf
n→+∞
−
Ω
|∇u n |
2
≥ −
Ω
|∇u|
2 ,
c’est-à-dire
lim sup
n→+∞
Ω
|∇u n |
2
≤
Ω
|∇u|
2 .
(2.29)
Nous appliquons maintenant le
Théorème 2.26 Une suite (u n ) n∈I N qui converge faiblement vers u dans
H
1
0 (Ω) (respectivement dans L
p (Ω), 1 < p < +∞) et qui vérifie
≥ lim sup
n→+∞
u n
(2.30)
(et donc u = lim u n en vertu du Théorème 2.20) où la norme · · désigne
la norme H
1 (respectivement L
p , 1 < p < +∞) converge fortement vers u
dans H
1
0 (Ω) (respectivement dans L
p (Ω), 1 < p < +∞).
Et (2.29) nous permet de conclure à la convergence forte H
1 .
Notons pour finir que, pour le moment, nous ne savons pas si u est indépendant
ou non de la suite minimisante, et de l’extraction, choisies. Ceci sera en fait
une conséquence directe de la propriété d’unicité (au signe près) que nous
verrons plus loin. En anticipant sur cette propriété, nous pouvons dire que
pour toute suite minimisante (u n ) n∈I N , (u n ) n∈I N convergera vers une limite ne
dépendant pas de la suite.
Plus généralement, il s’agit maintenant pour nous d’explorer les qualités d’une
limite u.
2.4 Propriétés d’une fonction minimisante
Nous considérons une fonction u minimisant le problème (2.2), et nous nous
posons la question : quelles propriétés particulières a-t-elle ? Sa propriété fondamentale, de laquelle découleront toutes les autres, est de vérifier ce qu’on appelle l’équation d’Euler-Lagrange associée au problème de minimisation (2.2).