2.3 Compacité du problème
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Fig. 2.1. Concentration d’une fonction autour d’un point.
5ème commentaire : En écho aux deuxième et quatrième commentaires, on
peut en fait remarquer la chose suivante. Sur un borné, une suite qui converge
faiblement mais pas fortement n’a le choix qu’entre deux comportements. Soit
elle oscille, c’est le cas de la fonction sinus dans le deuxième commentaire,
soit elle se concentre, c’est le cas du quatrième commentaire, et ce second cas
nécessite qu’elle converge presque partout contrairement au premier. Bien sûr,
une suite peut présenter un mélange des deux comportements, mais on ne sort
pas de ces deux familles. Sur un ouvert non borné, d’autres comportements
viendront s’ajouter à ces deux possibilités.
6ème commentaire : D’où vient ce résultat de compacité ? essentiellement du
Théorème d’Ascoli, qui stipule qu’une suite de fonctions (f n ) n∈I N continues
sur un compact K telle que |f n (x + h) − f n (x)| est petit uniformément en n et
en x ∈ K dès que h est assez petit converge à extraction près. En combinant
ce théorème avec le fait que |f n (x+h)−f n (x)| est essentiellement controlé par
∇f n (penser aux accroissements finis), on obtient l’essence du Théorème 2.24.
Le lecteur pourra trouver la preuve détaillée dans les références de fin de
chapitre.
En appliquant le Théorème ci-dessus à la suite minimisante (u n ) n∈I N , nous
pouvons donc supposer, quitte à extraire, que la suite (u n ) n∈I N converge fortement dans L
2 (Ω) et dans L
10/3 (Ω). Il en résulte que à la fois (2.27) et (2.28)
sont vraies, et que donc u est un minimum du problème (2.2).
Remarque 2.25 Il est important de noter que l’existence d’un minimiseur
a été obtenue indépendamment de toute contrainte sur les valeurs de λ (le
nombre d’électrons) et de Z (la charge totale du noyau). Nous verrons au
chapitre suivant qu’il n’en sera pas de même lorsque le problème est posé sur
IR
3 . D’un point de vue physique, l’interprétation est la suivante : si on empêche
les électrons de s’échapper à l’infini, ce qui est le cas ici puisqu’on travaille
sur un borné, un nombre donné Z de charges positives peut lier (c’est-à-dire
former un système stable) avec un nombre arbitrairement grand λ d’électrons.
En fait, on peut même montrer que la convergence (à extraction près) de
(u n ) n∈I N vers u, que l’on savait être une convergence faible dans H
1
0 (Ω), est
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Fig. 2.1. Concentration d’une fonction autour d’un point.
5ème commentaire : En écho aux deuxième et quatrième commentaires, on
peut en fait remarquer la chose suivante. Sur un borné, une suite qui converge
faiblement mais pas fortement n’a le choix qu’entre deux comportements. Soit
elle oscille, c’est le cas de la fonction sinus dans le deuxième commentaire,
soit elle se concentre, c’est le cas du quatrième commentaire, et ce second cas
nécessite qu’elle converge presque partout contrairement au premier. Bien sûr,
une suite peut présenter un mélange des deux comportements, mais on ne sort
pas de ces deux familles. Sur un ouvert non borné, d’autres comportements
viendront s’ajouter à ces deux possibilités.
6ème commentaire : D’où vient ce résultat de compacité ? essentiellement du
Théorème d’Ascoli, qui stipule qu’une suite de fonctions (f n ) n∈I N continues
sur un compact K telle que |f n (x + h) − f n (x)| est petit uniformément en n et
en x ∈ K dès que h est assez petit converge à extraction près. En combinant
ce théorème avec le fait que |f n (x+h)−f n (x)| est essentiellement controlé par
∇f n (penser aux accroissements finis), on obtient l’essence du Théorème 2.24.
Le lecteur pourra trouver la preuve détaillée dans les références de fin de
chapitre.
En appliquant le Théorème ci-dessus à la suite minimisante (u n ) n∈I N , nous
pouvons donc supposer, quitte à extraire, que la suite (u n ) n∈I N converge fortement dans L
2 (Ω) et dans L
10/3 (Ω). Il en résulte que à la fois (2.27) et (2.28)
sont vraies, et que donc u est un minimum du problème (2.2).
Remarque 2.25 Il est important de noter que l’existence d’un minimiseur
a été obtenue indépendamment de toute contrainte sur les valeurs de λ (le
nombre d’électrons) et de Z (la charge totale du noyau). Nous verrons au
chapitre suivant qu’il n’en sera pas de même lorsque le problème est posé sur
IR
3 . D’un point de vue physique, l’interprétation est la suivante : si on empêche
les électrons de s’échapper à l’infini, ce qui est le cas ici puisqu’on travaille
sur un borné, un nombre donné Z de charges positives peut lier (c’est-à-dire
former un système stable) avec un nombre arbitrairement grand λ d’électrons.
En fait, on peut même montrer que la convergence (à extraction près) de
(u n ) n∈I N vers u, que l’on savait être une convergence faible dans H
1
0 (Ω), est