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2 Un problème modèle sur un domaine borné
Désormais, nous savons donc que, sur un borné,
Si en plus on a des bornes sur les dérivées de u n ,
alors (u n ) n∈I N converge fortement.
Tout ceci s’entendant bien sûr à extraction près.
2ème commentaire : Il faut noter bien sûr que sans l’hypothèse que la suite est
bornée en norme H
1 , la conclusion est fausse : penser à une suite qui oscille
de plus en plus, et par exemple à u n = sin(nx) sur le segment [0, 2π]. Cette
suite est bornée dans L
2 , elle est même bornée pour la norme du sup ! Pour la
topologie faible L
2 , elle converge vers la fonction nulle (la convergence faible
est d’une certaine façon à associer à un point de vue à l’échelle supérieure : “en
moyenne”, la suite tend vers 0). Mais bien sûr, elle ne converge pas fortement
vers 0 en norme L
2 . Et ceci n’est pas étonnant puisque la suite des gradients
n’est pas bornée en norme L
2 .
3ème commentaire : Si le domaine Ω n’est pas borné, la conclusion est aussi
fausse (en général, car il existe cependant des domaines non bornés très particuliers pour lesquels certaines injections, comme celle de H
1 dans L
2 , sont
compactes ; on peut de même montrer la compacité de certaines injections
pour IR
N sous réserve d’une hypothèse comme le caractère radial -voir le
Théorème 3.9-). On pensera à l’exemple d’une fonction de classe C
∞ à support
compact, que l’on translate à l’infini dans l’espace. On reviendra longuement
sur cet exemple dans les chapitres ultérieurs.
4ème commentaire : Il est utile de remarquer que l’injection dans L
6 (Ω) n’est
pas compacte. Un exemple d’une suite bornée dans H
1
0 (Ω), convergente forte
dans tous les L
p (Ω), 1 ≤ p < 6, et ne convergeant pas fortement dans L
6 (Ω),
est fourni par la construction suivante. On prend pour Ω la boule unité centrée à l’origine de IR
3 , et on définit la fonction f , radiale, affine en r ∈ [0, 1],
nulle sur la sphère de rayon 1, et valant 1 à l’origine (c’est un cône renversé).
On prolonge cette fonction en dehors de la boule unité par la fonction identiquement nulle. Puis, on considère pour n ≥ 1 la suite f n =
√
nf (nx), qui
ressemble donc à un pic de plus en plus effilé autour de l’origine (voir Figure
2.1). Cette suite de fonctions appartient à H
1
0 (Ω), et il est aisé de voir que
Ω
|∇f n |
2 =
4
3
π et
Ω
|f n |
p = n
p/2−3
Ω
|f |
p , pour tout 1 ≤ p < ∞. On en
déduit que (f n ) n∈I N converge fortement vers 0 dans tous les L
p , 1 ≤ p < 6,
alors que sa norme L
6 est constante. Elle ne peut donc pas converger fortement vers la fonction nulle dans L
6 (Ω). En fait, l’exemple de la suite (f n ) n∈I N
est générique au sens suivant : sur un borné de IR
3 , la seule perte de compacité
L
6 possible pour une suite bornée en norme H
1 est une concentration autour
d’au moins un point, du type de la concentration de la suite (f n ) n∈I N autour
de l’origine.
2 Un problème modèle sur un domaine borné
Désormais, nous savons donc que, sur un borné,
Si en plus on a des bornes sur les dérivées de u n ,
alors (u n ) n∈I N converge fortement.
Tout ceci s’entendant bien sûr à extraction près.
2ème commentaire : Il faut noter bien sûr que sans l’hypothèse que la suite est
bornée en norme H
1 , la conclusion est fausse : penser à une suite qui oscille
de plus en plus, et par exemple à u n = sin(nx) sur le segment [0, 2π]. Cette
suite est bornée dans L
2 , elle est même bornée pour la norme du sup ! Pour la
topologie faible L
2 , elle converge vers la fonction nulle (la convergence faible
est d’une certaine façon à associer à un point de vue à l’échelle supérieure : “en
moyenne”, la suite tend vers 0). Mais bien sûr, elle ne converge pas fortement
vers 0 en norme L
2 . Et ceci n’est pas étonnant puisque la suite des gradients
n’est pas bornée en norme L
2 .
3ème commentaire : Si le domaine Ω n’est pas borné, la conclusion est aussi
fausse (en général, car il existe cependant des domaines non bornés très particuliers pour lesquels certaines injections, comme celle de H
1 dans L
2 , sont
compactes ; on peut de même montrer la compacité de certaines injections
pour IR
N sous réserve d’une hypothèse comme le caractère radial -voir le
Théorème 3.9-). On pensera à l’exemple d’une fonction de classe C
∞ à support
compact, que l’on translate à l’infini dans l’espace. On reviendra longuement
sur cet exemple dans les chapitres ultérieurs.
4ème commentaire : Il est utile de remarquer que l’injection dans L
6 (Ω) n’est
pas compacte. Un exemple d’une suite bornée dans H
1
0 (Ω), convergente forte
dans tous les L
p (Ω), 1 ≤ p < 6, et ne convergeant pas fortement dans L
6 (Ω),
est fourni par la construction suivante. On prend pour Ω la boule unité centrée à l’origine de IR
3 , et on définit la fonction f , radiale, affine en r ∈ [0, 1],
nulle sur la sphère de rayon 1, et valant 1 à l’origine (c’est un cône renversé).
On prolonge cette fonction en dehors de la boule unité par la fonction identiquement nulle. Puis, on considère pour n ≥ 1 la suite f n =
√
nf (nx), qui
ressemble donc à un pic de plus en plus effilé autour de l’origine (voir Figure
2.1). Cette suite de fonctions appartient à H
1
0 (Ω), et il est aisé de voir que
Ω
|∇f n |
2 =
4
3
π et
Ω
|f n |
p = n
p/2−3
Ω
|f |
p , pour tout 1 ≤ p < ∞. On en
déduit que (f n ) n∈I N converge fortement vers 0 dans tous les L
p , 1 ≤ p < 6,
alors que sa norme L
6 est constante. Elle ne peut donc pas converger fortement vers la fonction nulle dans L
6 (Ω). En fait, l’exemple de la suite (f n ) n∈I N
est générique au sens suivant : sur un borné de IR
3 , la seule perte de compacité
L
6 possible pour une suite bornée en norme H
1 est une concentration autour
d’au moins un point, du type de la concentration de la suite (f n ) n∈I N autour
de l’origine.