2.3 Compacité du problème
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automatiquement par définition de la borne inférieure que E
Ω (u) ≥ I
Ω
λ . Il
resterait alors à prouver E
Ω (u) ≤ I
Ω
λ , ce qui est aussi E
Ω (u) ≤ lim inf E
Ω (u n ).
En regroupant (2.23), (2.24) et (2.26), on constate qu’on dispose déjà d’une
information utile sur tous les termes de E
Ω (u n ), sauf sur le terme d’attraction
des noyaux. A ce stade du raisonnement, les deux seules questions qui nous
restent à résoudre sont donc
Ω
u
2 ?
= lim
Ω
u
2
n ,
(2.27)
Ω
1
|x|
u
2 ?
= lim
Ω
1
|x|
u
2
n .
(2.28)
Pour répondre à ces deux questions, il nous faut plus d’information sur la
suite (u n ) n∈I N . Ceci sera l’objet de la sous-section suivante.
Regardons maintenant(2.28). On est tenté de dire qu’il suffit pour prouver
cette assertion de montrer que (u
2
n ) n∈I N converge faiblement vers u
2 dans
L
5/3 (Ω) et d’utiliser le fait que, puisque
1
|x| ∈ L
5/2 (Ω), on a (2.28) par définition de la topologie faible sur L
5/3 (Ω). Ceci serait exact. Malheureusement,
si on sait bien que la suite (u
2
n ) n∈I N est bornée dans L
5/3 (Ω), donc faiblement
convergente à extraction près dans cet espace, on ne sait pas si sa limite est
u
2 (donner un contrexemple en exercice). C’est une difficulté standard : la
fonction t → t
2 est bien continue de L
10/3 (Ω) dans L
5/3 (Ω), mais comme elle
n’est pas linéaire on ne peut pas appliquer le Théorème 2.18, et affirmer que
la suite (u
2
n ) n∈I N est faiblement convergente vers u
2 dans L
5/3 (Ω) !
On constate donc que nous n’en savons encore pas assez sur la suite (u n ) n∈I N
pour conclure. L’information manquante va nous être fournie par un Théorème
très puissant d’Analyse Fonctionnelle.
2.3.2 Convergence forte des suites minimisantes
Le théorème essentiel que nous allons utiliser est le suivant
Théorème 2.24 (Théorème de Rellich-Kondrachov) Soit Ω un ouvert
borné de classe C
1 de IR
3 . L’espace H
1 (Ω) s’injecte de façon compacte dans
L
p (Ω) pour tout 1 ≤ p < 6.
Il est utile de faire plusieurs commentaires sur ce résultat capital.
1er commentaire : La section précédente nous a montré que, très grossièrement
dit,
Si on a des bornes sur u n , alors (u n ) n∈I N converge faiblement.
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automatiquement par définition de la borne inférieure que E
Ω (u) ≥ I
Ω
λ . Il
resterait alors à prouver E
Ω (u) ≤ I
Ω
λ , ce qui est aussi E
Ω (u) ≤ lim inf E
Ω (u n ).
En regroupant (2.23), (2.24) et (2.26), on constate qu’on dispose déjà d’une
information utile sur tous les termes de E
Ω (u n ), sauf sur le terme d’attraction
des noyaux. A ce stade du raisonnement, les deux seules questions qui nous
restent à résoudre sont donc
Ω
u
2 ?
= lim
Ω
u
2
n ,
(2.27)
Ω
1
|x|
u
2 ?
= lim
Ω
1
|x|
u
2
n .
(2.28)
Pour répondre à ces deux questions, il nous faut plus d’information sur la
suite (u n ) n∈I N . Ceci sera l’objet de la sous-section suivante.
Regardons maintenant(2.28). On est tenté de dire qu’il suffit pour prouver
cette assertion de montrer que (u
2
n ) n∈I N converge faiblement vers u
2 dans
L
5/3 (Ω) et d’utiliser le fait que, puisque
1
|x| ∈ L
5/2 (Ω), on a (2.28) par définition de la topologie faible sur L
5/3 (Ω). Ceci serait exact. Malheureusement,
si on sait bien que la suite (u
2
n ) n∈I N est bornée dans L
5/3 (Ω), donc faiblement
convergente à extraction près dans cet espace, on ne sait pas si sa limite est
u
2 (donner un contrexemple en exercice). C’est une difficulté standard : la
fonction t → t
2 est bien continue de L
10/3 (Ω) dans L
5/3 (Ω), mais comme elle
n’est pas linéaire on ne peut pas appliquer le Théorème 2.18, et affirmer que
la suite (u
2
n ) n∈I N est faiblement convergente vers u
2 dans L
5/3 (Ω) !
On constate donc que nous n’en savons encore pas assez sur la suite (u n ) n∈I N
pour conclure. L’information manquante va nous être fournie par un Théorème
très puissant d’Analyse Fonctionnelle.
2.3.2 Convergence forte des suites minimisantes
Le théorème essentiel que nous allons utiliser est le suivant
Théorème 2.24 (Théorème de Rellich-Kondrachov) Soit Ω un ouvert
borné de classe C
1 de IR
3 . L’espace H
1 (Ω) s’injecte de façon compacte dans
L
p (Ω) pour tout 1 ≤ p < 6.
Il est utile de faire plusieurs commentaires sur ce résultat capital.
1er commentaire : La section précédente nous a montré que, très grossièrement
dit,
Si on a des bornes sur u n , alors (u n ) n∈I N converge faiblement.