38
2 Un problème modèle sur un domaine borné
Remarque 2.22 Les Théorèmes 2.20 et 2.21 suggèrent que, dit de manière
un peu schématique, quand il y a de la convexité (donc a fortiori quand il
y a de la linéarité) dans le paysage, topologie forte et topologie faible jouent
quasiment le même rôle. Cette remarque n’est bien sûr pas à prendre au pied
de la lettre.
Ce résultat va nous permettre de progresser un peu sur la connaissance
de la limite faible u de notre suite minimisante. Les fonctions v →
Ω
v
2
et v →
Ω
|∇v|
2 sont quadratiques et positives donc convexes. La fonction
v →
Ω
|v|
10/3 est de même convexe. Toutes sont continues de H
1
0 (Ω) dans
IR (noter que pour la troisième on utilise le Théorème 2.2). On peut donc
affirmer, grâce au Théorème 2.20,
Ω
u
2
≤ lim inf
n→+∞
Ω
u
2
n ,
(2.22)
Ω
|∇u|
2
≤ lim inf
n→+∞
Ω
|∇u n |
2 ,
(2.23)
Ω
|u|
10/3
≤ lim inf
n→+∞
Ω
|u n |
10/3 .
(2.24)
Remarque 2.23 En appliquant le Théorème 2.13, on peut aussi retrouver
(2.22), (2.23) et (2.24).
Le cas de la fonction v →
Ω×Ω
v
2 (x)v
2 (y)
|x − y|
dx dy bien que moins simple en
apparence relève en fait de la même observation. Le point de départ consiste
à remarquer que pour une fonction w suffisamment régulière, on a
I R 3 ×I R 3
w(x)w(y)
|x − y|
dxdy =
I R 3
∇ (w w
1
|x|
)
2
.
(2.25)
Les Exercices 2.3 et 2.4 à la fin de ce chapitre sont destinés à formaliser,
justifier et utiliser cette observation dans le but de montrer la convexité du
terme de répulsion inter-électronique.
Au vu de l’Exercice 2.4 et du Théorème 2.20, nous avons donc
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy ≤ lim inf
n→+∞
Ω×Ω
u
2
n (x)u
2
n (y)
|x − y|
dx dy.
(2.26)
Rappelons maintenant qu’on cherche à prouver l’existence d’un minimum pour
(2.2) et qu’on espère que u pourrait être un tel minimum. Bien qu’on ne sache
pour l’instant que (2.22), on aimerait bien avoir
Ω
u
2 = λ, ce qui entraînerait
2 Un problème modèle sur un domaine borné
Remarque 2.22 Les Théorèmes 2.20 et 2.21 suggèrent que, dit de manière
un peu schématique, quand il y a de la convexité (donc a fortiori quand il
y a de la linéarité) dans le paysage, topologie forte et topologie faible jouent
quasiment le même rôle. Cette remarque n’est bien sûr pas à prendre au pied
de la lettre.
Ce résultat va nous permettre de progresser un peu sur la connaissance
de la limite faible u de notre suite minimisante. Les fonctions v →
Ω
v
2
et v →
Ω
|∇v|
2 sont quadratiques et positives donc convexes. La fonction
v →
Ω
|v|
10/3 est de même convexe. Toutes sont continues de H
1
0 (Ω) dans
IR (noter que pour la troisième on utilise le Théorème 2.2). On peut donc
affirmer, grâce au Théorème 2.20,
Ω
u
2
≤ lim inf
n→+∞
Ω
u
2
n ,
(2.22)
Ω
|∇u|
2
≤ lim inf
n→+∞
Ω
|∇u n |
2 ,
(2.23)
Ω
|u|
10/3
≤ lim inf
n→+∞
Ω
|u n |
10/3 .
(2.24)
Remarque 2.23 En appliquant le Théorème 2.13, on peut aussi retrouver
(2.22), (2.23) et (2.24).
Le cas de la fonction v →
Ω×Ω
v
2 (x)v
2 (y)
|x − y|
dx dy bien que moins simple en
apparence relève en fait de la même observation. Le point de départ consiste
à remarquer que pour une fonction w suffisamment régulière, on a
I R 3 ×I R 3
w(x)w(y)
|x − y|
dxdy =
I R 3
∇ (w w
1
|x|
)
2
.
(2.25)
Les Exercices 2.3 et 2.4 à la fin de ce chapitre sont destinés à formaliser,
justifier et utiliser cette observation dans le but de montrer la convexité du
terme de répulsion inter-électronique.
Au vu de l’Exercice 2.4 et du Théorème 2.20, nous avons donc
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy ≤ lim inf
n→+∞
Ω×Ω
u
2
n (x)u
2
n (y)
|x − y|
dx dy.
(2.26)
Rappelons maintenant qu’on cherche à prouver l’existence d’un minimum pour
(2.2) et qu’on espère que u pourrait être un tel minimum. Bien qu’on ne sache
pour l’instant que (2.22), on aimerait bien avoir
Ω
u
2 = λ, ce qui entraînerait