2.3 Compacité du problème
37
Remarque 2.19
1. La preuve de ce théorème est simple (elle est en fait équivalente à l’argument que nous avons fait pour montrer v = u). La réciproque est aussi
vraie, et c’est un résultat profond.
2. On ne soulignera jamais assez que l’hypothèse fonction linéaire est essentielle.
Utilisons ce résultat pour l’injection continue de Sobolev de H
1
0 (Ω) dans L
2 (Ω)
du Théorème 2.2 : la suite u n est donc faiblement convergente dans L
2 vers
u, et on conclut donc v = u.
Revenons maintenant à notre suite minimisante (u n ) n∈I N . Comme elle est bornée dans H
1
0 (Ω), on peut supposer, quitte à extraire, qu’elle converge faiblement vers u ∈ H
1
0 (Ω). Voici donc notre objet particulier créé, cette fonction u.
La question naturelle à se poser à son sujet est : que valent E
Ω (u) et
Ω
u
2 ?
Ceci revient à s’interroger sur ce qu’on peut dire de la quantité f (u) quand u
est la limite faible d’une suite (u n ) n∈I N et f une fonction à valeurs réelles. Si
la fonction f était continue sur l’espace fonctionnel muni de sa norme naturelle et si la suite convergeait fortement, on aurait bien sûr f (u) = lim f (u n ).
Dans le cas de la convergence faible, ce n’est plus nécessairement vrai. On sait
seulement
Théorème 2.20 Si la fonction f définie sur un Banach E à valeurs réelles
est convexe et semi continue inférieurement
2 pour la topologie forte, alors
elle est semi continue inférieurement pour la topologie faible, et on a donc en
particulier
f (x) ≤ lim inf
n→+∞
f (x n )
dès que (x n ) n∈I N converge faiblement vers x.
Ce théorème résulte directement d’un autre résultat important :
Théorème 2.21
1. Un ensemble fermé pour la topologie faible est aussi fermé pour la topologie
forte
3 .
2. Un ensemble convexe fermé pour la topologie forte est fermé pour la topologie faible.
2 On rappelle qu’une fonction f : E −→] − ∞, +∞] est dite semi continue
inférieurement (pour une certaine topologie) si pour tout α ∈ IR l’ensemble
{x ∈ E, φ(x) ≤ α} est fermé (pour la topologie en question).
3 Ne pas se laisser abuser par le vocabulaire : un faiblement fermé est donc fortement fermé !
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Remarque 2.19
1. La preuve de ce théorème est simple (elle est en fait équivalente à l’argument que nous avons fait pour montrer v = u). La réciproque est aussi
vraie, et c’est un résultat profond.
2. On ne soulignera jamais assez que l’hypothèse fonction linéaire est essentielle.
Utilisons ce résultat pour l’injection continue de Sobolev de H
1
0 (Ω) dans L
2 (Ω)
du Théorème 2.2 : la suite u n est donc faiblement convergente dans L
2 vers
u, et on conclut donc v = u.
Revenons maintenant à notre suite minimisante (u n ) n∈I N . Comme elle est bornée dans H
1
0 (Ω), on peut supposer, quitte à extraire, qu’elle converge faiblement vers u ∈ H
1
0 (Ω). Voici donc notre objet particulier créé, cette fonction u.
La question naturelle à se poser à son sujet est : que valent E
Ω (u) et
Ω
u
2 ?
Ceci revient à s’interroger sur ce qu’on peut dire de la quantité f (u) quand u
est la limite faible d’une suite (u n ) n∈I N et f une fonction à valeurs réelles. Si
la fonction f était continue sur l’espace fonctionnel muni de sa norme naturelle et si la suite convergeait fortement, on aurait bien sûr f (u) = lim f (u n ).
Dans le cas de la convergence faible, ce n’est plus nécessairement vrai. On sait
seulement
Théorème 2.20 Si la fonction f définie sur un Banach E à valeurs réelles
est convexe et semi continue inférieurement
2 pour la topologie forte, alors
elle est semi continue inférieurement pour la topologie faible, et on a donc en
particulier
f (x) ≤ lim inf
n→+∞
f (x n )
dès que (x n ) n∈I N converge faiblement vers x.
Ce théorème résulte directement d’un autre résultat important :
Théorème 2.21
1. Un ensemble fermé pour la topologie faible est aussi fermé pour la topologie
forte
3 .
2. Un ensemble convexe fermé pour la topologie forte est fermé pour la topologie faible.
2 On rappelle qu’une fonction f : E −→] − ∞, +∞] est dite semi continue
inférieurement (pour une certaine topologie) si pour tout α ∈ IR l’ensemble
{x ∈ E, φ(x) ≤ α} est fermé (pour la topologie en question).
3 Ne pas se laisser abuser par le vocabulaire : un faiblement fermé est donc fortement fermé !