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2 Un problème modèle sur un domaine borné
Remarque 2.17 On ne doit pas être étonné de la formulation (2.21) : il
s’agit bien sûr du produit scalaire sur H
1
0 (Ω). On pourrait tout aussi bien dire
que, pour tout w ∈ H
−1 (Ω), on a
w, u α(n) H −1 ,H 1
0
−→ →w, u H −1 ,H 1
0
,
puisqu’à chaque w ∈ H
−1 (Ω) correspond par le Théorème de représentation
de Riesz un unique v ∈ H
1
0 (Ω) (vérifiant en fait −∆v + v = w) tel que l’on
ait identiquement en f ∈ H
1
0 (Ω),
w, f H −1 ,H 1
0
= (v, f ) H 1
0
.
On utilise ici l’identification du dual d’un Hilbert avec ce Hilbert lui-même.
Examinons en détail le cas d’une suite (u n ) n∈I N bornée en norme H
1 . En
particulier, les suites (u n ) n∈I N et (∂ i u n ) n∈I N (i = 1, 2, 3) sont donc bornées en
norme L
2 . D’après le Corollaire 2.15, on peut donc supposer, quitte à choisir
une extraction commune aux 4 suites (il suffit d’extraire successivement) que
u n
L
2
v,
∂ i u n
L
2
w i .
Les questions naturelles sont : a-t-on v = u et w i = ∂ i u, où u est la limite
faible H
1
0 de (u n ) n∈I N ? Remarquons d’abord que nécessairement w i = ∂ i v.
En effet, la convergence faible dans L
2 implique la convergence au sens des
distributions, puisque les fonctions de classe C
∞ à support compact sont L
2 et
que le produit scalaire L
2 coïncide alors avec le crochet de dualité au sens des
distributions. Donc (u n ) n∈I N converge vers v et (∂ i u n ) n∈I N converge vers w i au
sens des distributions. Or, la convergence au sens des distributions implique la
convergence des dérivées. Donc (∂ i u n ) n∈I N converge au sens des distributions
vers ∂ i v. Par unicité de la limite au sens des distributions, on a donc w i = ∂ i v.
Pour savoir si v = u nous pouvons par exemple remarquer que, conformément
à la Remarque 2.17, on peut écrire la convergence faible dans H
1
0 comme la
convergence contre toute fonction H
−1 (c’est en fait la Définition initiale 2.1).
Donc cette convergence est aussi vraie contre toute fonction L
2 (qui est a
fortiori H
−1 ). Par unicité de la limite faible L
2 , on a donc v = u. On peut
aussi procéder différemment et faire appel au Théorème suivant.
Théorème 2.18 Une fonction linéaire, continue d’un espace de Banach E
(muni de sa topologie forte) dans un espace de Banach F (muni de sa topologie
forte), est continue de E muni de sa topologie faible dans F muni de sa
topologie faible.
2 Un problème modèle sur un domaine borné
Remarque 2.17 On ne doit pas être étonné de la formulation (2.21) : il
s’agit bien sûr du produit scalaire sur H
1
0 (Ω). On pourrait tout aussi bien dire
que, pour tout w ∈ H
−1 (Ω), on a
w, u α(n) H −1 ,H 1
0
−→ →w, u H −1 ,H 1
0
,
puisqu’à chaque w ∈ H
−1 (Ω) correspond par le Théorème de représentation
de Riesz un unique v ∈ H
1
0 (Ω) (vérifiant en fait −∆v + v = w) tel que l’on
ait identiquement en f ∈ H
1
0 (Ω),
w, f H −1 ,H 1
0
= (v, f ) H 1
0
.
On utilise ici l’identification du dual d’un Hilbert avec ce Hilbert lui-même.
Examinons en détail le cas d’une suite (u n ) n∈I N bornée en norme H
1 . En
particulier, les suites (u n ) n∈I N et (∂ i u n ) n∈I N (i = 1, 2, 3) sont donc bornées en
norme L
2 . D’après le Corollaire 2.15, on peut donc supposer, quitte à choisir
une extraction commune aux 4 suites (il suffit d’extraire successivement) que
u n
L
2
v,
∂ i u n
L
2
w i .
Les questions naturelles sont : a-t-on v = u et w i = ∂ i u, où u est la limite
faible H
1
0 de (u n ) n∈I N ? Remarquons d’abord que nécessairement w i = ∂ i v.
En effet, la convergence faible dans L
2 implique la convergence au sens des
distributions, puisque les fonctions de classe C
∞ à support compact sont L
2 et
que le produit scalaire L
2 coïncide alors avec le crochet de dualité au sens des
distributions. Donc (u n ) n∈I N converge vers v et (∂ i u n ) n∈I N converge vers w i au
sens des distributions. Or, la convergence au sens des distributions implique la
convergence des dérivées. Donc (∂ i u n ) n∈I N converge au sens des distributions
vers ∂ i v. Par unicité de la limite au sens des distributions, on a donc w i = ∂ i v.
Pour savoir si v = u nous pouvons par exemple remarquer que, conformément
à la Remarque 2.17, on peut écrire la convergence faible dans H
1
0 comme la
convergence contre toute fonction H
−1 (c’est en fait la Définition initiale 2.1).
Donc cette convergence est aussi vraie contre toute fonction L
2 (qui est a
fortiori H
−1 ). Par unicité de la limite faible L
2 , on a donc v = u. On peut
aussi procéder différemment et faire appel au Théorème suivant.
Théorème 2.18 Une fonction linéaire, continue d’un espace de Banach E
(muni de sa topologie forte) dans un espace de Banach F (muni de sa topologie
forte), est continue de E muni de sa topologie faible dans F muni de sa
topologie faible.