2.3 Compacité du problème
35
cas. Il est bien sûr clair qu’une suite qui converge fortement converge faiblement, et on peut montrer que les deux notions coïncident en dimension finie,
et seulement en dimension finie. Mais la topologie faible est surtout utile dans
notre contexte parce qu’elle possède les très utiles propriétés suivantes :
Théorème 2.13 1. Une suite (x n ) n∈I N qui converge faiblement est bornée
et sa limite faible x vérifie
E ≤ lim inf
n→+∞
x n E .
(2.20)
2. Dans un espace de Banach réflexif (E = (E
)
), on peut extraire de toute
suite bornée une suite convergente pour la topologie faible.
Remarque 2.14 Encore une fois, nous citons le résultat ci-dessus sous une
forme simplifiée, particulièrement adaptée à notre cadre de travail. La propriété 2 qui est essentielle pour nous, est en fait une conséquence dans le cas
des espaces de Banach réflexifs d’une propriété analogue pour un autre type
de topologie faible. On se reportera si nécessaire aux ouvrages de référence.
Si l’on se souvient maintenant que les espaces L
p sont réflexifs pour 1 <
p < +∞ (il est capital de noter que les cas p = 1 et p = +∞ ne sont pas
convenables), on peut donc énoncer le résultat
Corollaire 2.15 Pour 1 < p < +∞, une suite (u n ) n∈I N bornée dans L
p
est, à extraction près, convergente pour la topologie faible, c’est-à-dire qu’il
existe une extraction α et une fonction u ∈ L
p (dépendant éventuellement de
l’extraction) telle que, pour tout v ∈ L
q (
1
p +
1
q = 1),
u α(n) v −→
uv.
Bref, à extraction près, on retiendra que pour une suite dans L
p (1 < p <
+∞), être bornée ou être faiblement convergente, c’est la même chose.
Comme un espace de Hilbert est un espace de Banach réflexif, nous avons de
même le
Corollaire 2.16 Une suite (u n ) n∈I N bornée dans H
1
0 (Ω) est, à extraction
près, convergente pour la topologie faible, c’est-à-dire qu’il existe une extraction α et une fonction u ∈ H
1
0 (Ω) (dépendant éventuellement de l’extraction)
telle que, pour tout v ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
u α(n) v +
Ω
∇u α(n) · ∇v −→
Ω
uv +
Ω
∇u · ∇v.
(2.21)
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cas. Il est bien sûr clair qu’une suite qui converge fortement converge faiblement, et on peut montrer que les deux notions coïncident en dimension finie,
et seulement en dimension finie. Mais la topologie faible est surtout utile dans
notre contexte parce qu’elle possède les très utiles propriétés suivantes :
Théorème 2.13 1. Une suite (x n ) n∈I N qui converge faiblement est bornée
et sa limite faible x vérifie
E ≤ lim inf
n→+∞
x n E .
(2.20)
2. Dans un espace de Banach réflexif (E = (E
)
), on peut extraire de toute
suite bornée une suite convergente pour la topologie faible.
Remarque 2.14 Encore une fois, nous citons le résultat ci-dessus sous une
forme simplifiée, particulièrement adaptée à notre cadre de travail. La propriété 2 qui est essentielle pour nous, est en fait une conséquence dans le cas
des espaces de Banach réflexifs d’une propriété analogue pour un autre type
de topologie faible. On se reportera si nécessaire aux ouvrages de référence.
Si l’on se souvient maintenant que les espaces L
p sont réflexifs pour 1 <
p < +∞ (il est capital de noter que les cas p = 1 et p = +∞ ne sont pas
convenables), on peut donc énoncer le résultat
Corollaire 2.15 Pour 1 < p < +∞, une suite (u n ) n∈I N bornée dans L
p
est, à extraction près, convergente pour la topologie faible, c’est-à-dire qu’il
existe une extraction α et une fonction u ∈ L
p (dépendant éventuellement de
l’extraction) telle que, pour tout v ∈ L
q (
1
p +
1
q = 1),
u α(n) v −→
uv.
Bref, à extraction près, on retiendra que pour une suite dans L
p (1 < p <
+∞), être bornée ou être faiblement convergente, c’est la même chose.
Comme un espace de Hilbert est un espace de Banach réflexif, nous avons de
même le
Corollaire 2.16 Une suite (u n ) n∈I N bornée dans H
1
0 (Ω) est, à extraction
près, convergente pour la topologie faible, c’est-à-dire qu’il existe une extraction α et une fonction u ∈ H
1
0 (Ω) (dépendant éventuellement de l’extraction)
telle que, pour tout v ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
u α(n) v +
Ω
∇u α(n) · ∇v −→
Ω
uv +
Ω
∇u · ∇v.
(2.21)