34
2 Un problème modèle sur un domaine borné
Un problème de minimisation du type de (2.2) est dit compact si la borne
inférieure qu’il définit est atteinte, autrement dit ici s’il existe au moins une
fonction u Ω ∈ H
1
0 (Ω) vérifiant
⎧
⎨
⎩
E
Ω (u Ω ) = I
Ω
λ
Ω
|u Ω |
2 = λ.
(2.19)
Nous allons prouver dans cette section que le problème (2.2) est effectivement
compact.
2.3.1 Convergence faible des suites minimisantes
Considérons une suite minimisante (u n ) n∈I N arbitraire. Rappelons tout d’abord
le résultat essentiel de la section précédente :
la suite (u n ) n∈I N est bornée dans H
1 (Ω).
Que peut-on dire à partir d’une telle constatation ? A priori, le fait que
(u n ) n∈I N soit bornée pour la norme H
1 ne suffit pas à affirmer qu’elle converge
pour cette topologie, et donc à créer une fonction u, limite des (u n ) n∈I N , qui
soit susceptible de résoudre notre problème. En effet, on peut par exemple
considérer sur le segment [0, 2π] la suite u n (x) =
1
n
sin(nx) qui est bornée
dans H
1
0 (0, 2π) ; il est facile de voir que (u n ) n∈I N converge vers la fonction
identiquement nulle dans L
2 (0, 2π), et qu’elle ne peut pas converger vers 0
dans H
1 (0, 2π) puisque
2π
0
|u
n (x)|
2 dx =
2π
0
cos
2 (nx) dx = π.
Pourtant, si on ne peut pas affirmer qu’une telle suite converge pour la topologie de H
1 , on peut en déduire qu’elle converge pour une topologie moins fine.
En d’autres termes, en définissant une notion de compacité moins exigeante,
on donne à une suite arbitraire plus de chances d’être convergente, le prix à
payer étant, on le verra ci-dessous, de disposer de moins d’informations sur
l’objet limite ainsi créé. Il convient à ce propos de se souvenir de la notion de
topologie faible, que l’on définit ici séquentiellement.
Definition 2.1. Soit E un espace de Banach, de dual E
. On dit qu’une suite
(x n ) n∈I N d’éléments de E converge faiblement vers x ∈ E, si, pour tout élément f ∈ E
, on a f, x n E ,E −→
n→+∞
f, x E ,E dans IR.
Il est d’usage de noter la convergence faible par x n x. Pour éviter toute
ambiguïté, on dit souvent qu’une suite convergente (au sens de la topologie
naturelle) est fortement convergente, et on réserve la notation x n −→ x à ce
2 Un problème modèle sur un domaine borné
Un problème de minimisation du type de (2.2) est dit compact si la borne
inférieure qu’il définit est atteinte, autrement dit ici s’il existe au moins une
fonction u Ω ∈ H
1
0 (Ω) vérifiant
⎧
⎨
⎩
E
Ω (u Ω ) = I
Ω
λ
Ω
|u Ω |
2 = λ.
(2.19)
Nous allons prouver dans cette section que le problème (2.2) est effectivement
compact.
2.3.1 Convergence faible des suites minimisantes
Considérons une suite minimisante (u n ) n∈I N arbitraire. Rappelons tout d’abord
le résultat essentiel de la section précédente :
la suite (u n ) n∈I N est bornée dans H
1 (Ω).
Que peut-on dire à partir d’une telle constatation ? A priori, le fait que
(u n ) n∈I N soit bornée pour la norme H
1 ne suffit pas à affirmer qu’elle converge
pour cette topologie, et donc à créer une fonction u, limite des (u n ) n∈I N , qui
soit susceptible de résoudre notre problème. En effet, on peut par exemple
considérer sur le segment [0, 2π] la suite u n (x) =
1
n
sin(nx) qui est bornée
dans H
1
0 (0, 2π) ; il est facile de voir que (u n ) n∈I N converge vers la fonction
identiquement nulle dans L
2 (0, 2π), et qu’elle ne peut pas converger vers 0
dans H
1 (0, 2π) puisque
2π
0
|u
n (x)|
2 dx =
2π
0
cos
2 (nx) dx = π.
Pourtant, si on ne peut pas affirmer qu’une telle suite converge pour la topologie de H
1 , on peut en déduire qu’elle converge pour une topologie moins fine.
En d’autres termes, en définissant une notion de compacité moins exigeante,
on donne à une suite arbitraire plus de chances d’être convergente, le prix à
payer étant, on le verra ci-dessous, de disposer de moins d’informations sur
l’objet limite ainsi créé. Il convient à ce propos de se souvenir de la notion de
topologie faible, que l’on définit ici séquentiellement.
Definition 2.1. Soit E un espace de Banach, de dual E
. On dit qu’une suite
(x n ) n∈I N d’éléments de E converge faiblement vers x ∈ E, si, pour tout élément f ∈ E
, on a f, x n E ,E −→
n→+∞
f, x E ,E dans IR.
Il est d’usage de noter la convergence faible par x n x. Pour éviter toute
ambiguïté, on dit souvent qu’une suite convergente (au sens de la topologie
naturelle) est fortement convergente, et on réserve la notation x n −→ x à ce