2.3 Compacité du problème
33
Considérons donc une suite minimisante arbitraire du problème (2.2).
Comme lim E
Ω (u n ) = I
Ω
λ , on sait qu’il existe une constante C indépendante
de n telle que, pour tout n ∈ IN,
E
Ω (u n ) ≤ C.
(2.17)
En procédant par exemple à l’aide de l’inégalité (2.5), on en déduit
n
2
L 2 (Ω) + u n
10/3
L 10/3 − Z
1
|x|
L 5/2 (Ω) u n
2
L 10/3 (Ω) ≤ C,
(2.18)
ce qui impose, compte tenu du fait que la fonction X → X
10/3
− aX
2 est
minorée sur IR
+ et tend vers +∞ lorsque X tend vers +∞, que les quantités
n L 2 (Ω) et u n L 10/3 (Ω) sont bornées indépendamment de n. En adjoignant au fait que n L 2 (Ω) est bornée le fait que par hypothèse on a aussi
Ω
u
2
n = λ, on en déduit que
la suite (u n ) n∈I N est bornée dans H
1 (Ω).
Cette propriété va être capitale pour la suite de l’étude.
Nous venons donc de prouver que le problème de minimisation (2.2) possédait
les trois propriétes suivantes :
1. la fonctionnelle d’énergie est bien définie sur l’ensemble (non vide) sur
lequel on la minimise,
2. la fonctionnelle d’énergie est inférieurement bornée sur cet ensemble,
3. les suites minimisantes sont bornées dans une bonne
1 topologie.
Un problème de minimisation satisfaisant les trois conditions ci-dessus est
souvent dit bien posé. Cela signifie qu’on peut se poser à bon droit le problème
de l’existence d’un minimum pour ce problème de minimisation. C’est ce que
nous allons faire maintenant.
2.3 Compacité du problème
Comme souvent en mathématiques, exhiber un objet vérifiant des conditions
prescrites (ici être un minimum de (2.2)) est une question difficile, liée à la
notion topologique de compacité, laquelle a précisément la propriété de “créer”
des objets particuliers à partir de suites. Ceci explique que nous commencions
par un point de vocabulaire.
1 On reconnaît qu’il y a un peu de flou dans cette notion intuitive de bonne topologie, mais la plupart du temps, cette bonne topologie s’impose d’elle-même à la
vue du problème.
33
Considérons donc une suite minimisante arbitraire du problème (2.2).
Comme lim E
Ω (u n ) = I
Ω
λ , on sait qu’il existe une constante C indépendante
de n telle que, pour tout n ∈ IN,
E
Ω (u n ) ≤ C.
(2.17)
En procédant par exemple à l’aide de l’inégalité (2.5), on en déduit
n
2
L 2 (Ω) + u n
10/3
L 10/3 − Z
1
|x|
L 5/2 (Ω) u n
2
L 10/3 (Ω) ≤ C,
(2.18)
ce qui impose, compte tenu du fait que la fonction X → X
10/3
− aX
2 est
minorée sur IR
+ et tend vers +∞ lorsque X tend vers +∞, que les quantités
n L 2 (Ω) et u n L 10/3 (Ω) sont bornées indépendamment de n. En adjoignant au fait que n L 2 (Ω) est bornée le fait que par hypothèse on a aussi
Ω
u
2
n = λ, on en déduit que
la suite (u n ) n∈I N est bornée dans H
1 (Ω).
Cette propriété va être capitale pour la suite de l’étude.
Nous venons donc de prouver que le problème de minimisation (2.2) possédait
les trois propriétes suivantes :
1. la fonctionnelle d’énergie est bien définie sur l’ensemble (non vide) sur
lequel on la minimise,
2. la fonctionnelle d’énergie est inférieurement bornée sur cet ensemble,
3. les suites minimisantes sont bornées dans une bonne
1 topologie.
Un problème de minimisation satisfaisant les trois conditions ci-dessus est
souvent dit bien posé. Cela signifie qu’on peut se poser à bon droit le problème
de l’existence d’un minimum pour ce problème de minimisation. C’est ce que
nous allons faire maintenant.
2.3 Compacité du problème
Comme souvent en mathématiques, exhiber un objet vérifiant des conditions
prescrites (ici être un minimum de (2.2)) est une question difficile, liée à la
notion topologique de compacité, laquelle a précisément la propriété de “créer”
des objets particuliers à partir de suites. Ceci explique que nous commencions
par un point de vocabulaire.
1 On reconnaît qu’il y a un peu de flou dans cette notion intuitive de bonne topologie, mais la plupart du temps, cette bonne topologie s’impose d’elle-même à la
vue du problème.