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2 Un problème modèle sur un domaine borné
Une manière de borner le terme d’attraction du noyau est alors la suivante.
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a
Ω
1
|x|
u
2
≤ ≤
u
|x|
L 2 (Ω) u L 2 (Ω) .
Donc, en utilisant l’inégalité de Hardy, toute fonction u ∈ H
1
0 (Ω) vérifie
Ω
1
|x|
u
2
≤ 2 L 2 (Ω) u L 2 (Ω) .
En utilisant cette fois que la norme L
2 est astreinte à valoir
√
λ dans l’ensemble
sur lequel on minimise, on obtient
Ω
1
|x|
u
2
≤ 2 λ
1/2
L 2 (Ω) ,
(2.15)
et on conclut en raisonnant comme ci-dessus, cette fois avec le polynôme
X → X
2
− aX.
2.2.3 Les suites minimisantes sont bornées
Le fait que I
Ω
λ > −∞ était un préliminaire nécessaire à notre étude. Cependant notre objectif est autrement plus exigeant. Nous souhaitons montrer que
notre modèle permet de décrire correctement l’état fondamental d’un atome.
En particulier, cela signifie que nous cherchons à prouver l’existence d’un
minimum pour (2.2). Une première étape dans cette étude est de se poser
la question : Que peut-on dire d’une suite de u convenables dont l’énergie
approcherait I
Ω
λ ? Nous introduisons donc sur l’exemple du problème (2.2) la
notion suivante.
On appelle suite minimisante du problème (2.2) toute suite (u n ) n∈I N ∈ H
1
0 (Ω),
vérifiant
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
lim
n−→∞
E
Ω (u n ) = I
Ω
λ
Ω
|u n |
2 = λ,
∀n ∈ IN.
(2.16)
La première remarque à faire est qu’il existe toujours au moins une suite
minimisante (dès qu’on minimise sur un ensemble non vide). En effet, par
définition d’une borne inférieure, il existe pour tout n ∈ IN au moins une
fonction u n dans l’ensemble de minimisation telle que
E
Ω (u n ) ≤ I
Ω
λ + 2
−n ,
et la suite (u n ) n∈I N est alors clairement une suite minimisante.